刑事警察人員 115 年數位訊號處理(DSP)考古題

假設一個週期為T 的連續時間訊號( ) x t ，其基本角頻率（radian frequency） 為 0 2 T ，該訊號可以表示為複數指數形式的傅立葉級數（Fourier Series）： 0 ( ) j kt k k x t a e ㈠請推導出上式之傅立葉係數（Fourier coefficients）{ } ka 計算公式為： （15 分） 0 0 1 ( ) T j kt ka x t e dt T ㈡當訊號 3 ) ( ) 4 ( x t sin t ，請計算出該訊號之傅立葉係數{ } ka 。（10 分）

一簡單的移動平均（moving average）濾波器系統定義如下： 1 0 1 [ ] [ ] M k y n x n k M ㈠求該系統之脈衝響應（impulse response）[ ] h n ；（5 分） ㈡請推導該系統之頻率響應（frequency response）( ) j H e 表示式；（10 分） ㈢假設濾波器 11 M ，若輸入訊號[ ] j n x n e ， 請找出值， ω ，使得[ ] 0 y n ，n 成立。（10 分）

考慮下面的差分方程式的系統： [ ] [ 1] [ 2] 2 [ ] 2 [ 1] y n y n y n x n x n ㈠找出系統函數（System function） ( ) ( ) ( ) Y z H z X z ，以z 的正冪次方多項 式比表示；（10 分） ㈡求該系統的脈衝響應（impulse response）[ ] h n ，以純實數表示。（15 分）

對於任何實數序列[ ] x n ，其傅立葉轉換 ( ) [ ] j j n n X e x n e ： ㈠請證明其傅立葉轉換之大小（Magnitude）| ( )| j X e 為偶函數而相位 （Phase） ( ) j X e 為奇函數，即（10 分） | ( ) | | ( )| j j X e X e ； ( ) ( ) j j X e X e ㈡當實數序列[ ] 0.5 [ ] n x n u n ，請驗證㈠之等式成立。（15 分）