刑事警察人員 95 年數位訊號處理(DSP)考古題

有一數位濾波器的頻率響應（frequency response）為( ) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≤ < < = π π π w w e H jw 8 / ,0 8 / ,1 ，欲以 此濾波器的脈衝響應（impulse response）( ) n h 為基礎，來設計三種新的數位濾波器， 使其脈衝響應 ( ) n hi 分別滿足： ㈠ ( ) ( ) n h n h

1 = ㈡ ( ) ( ) ⎩ ⎨ ⎧ ⋅⋅⋅⋅ ± = = else n n h n h ,0 ,2 ,0 , 2 / 2 ㈢ ( ) ( ) ( ) n h n h n 1

− = 試推導每一種新的數位濾波器之頻率響應 ( ) jw i e H 與( ) jw e H 的關係式，並繪出 ( ) jw i e H 的 圖形。（20 分） 二、假設有一資料序列， ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 2 − + − + = n n n n x δ δ δ ，其中( ) ⎩ ⎨ ⎧ ≠ = = 0 ,0 0 ,1 n n n δ 。（20 分） ㈠試求出其4 點的離散傅立葉轉換（discrete Fourier transform） ( ) 3,2,1,0 , = k k X 之值。 ㈡試求出其 − z 轉換（z-transform） ( )z X ，並說明 ( )z X 和 ( ) 3,2,1,0 , = k k X 的關係。 三、已知一類比Butterworth 低通濾波器的轉移函數（transfer function ）為 ( ) 2 2 2 2 c c c a w s w s w s H + + = 假設截止頻率為 500 2 / = = π c c w f Hz,且取樣頻率為 6.9 KHz。請利用雙線性轉換 （bilinear transformation）方法，求出對應的數位低通濾波器的轉移函數。（20 分）

有一信號序列 ( ) n x 通過一離散系統，其轉移函數為 ( ) 1 1 − + = z z H 。假設 ( ) ( ) ( ) n w n s n x 0 cos = 為窄頻，即訊息序列( ) n s 的頻寬遠小於 0 w 。試求出其輸出信號序列 的時間延遲(time delay)值。（20 分）

有一連續時間信號 ( )t xc ，其頻譜如下圖所示。此信號經由取樣週期（sampling period） 為 0 / 2 Ω = π T 取樣而得到序列( ) n x 。（20 分） ㈠請繪出( ) n x 的頻譜。 ㈡請說明如何從序列( ) n x 將連續時間信號 ( )t xc 無失真還原的方法。 Ω 0 Ω 0 Ω − 2 0 Ω − 2 0 Ω 1 ( ) Ω j xc