刑事警察人員 106 年數位訊號處理(DSP)考古題

考慮移動平均濾波器（moving average filter）：∑−=−++21][ NNkknxNNy[n]=，其中x[n]與y[n]分別為輸入與輸出訊號，N1 與N2 為正整數。㈠證明該濾波器之頻率響應（Frequency response）可表示為：（10 分）[]2NNjω jω12eω/221NN1NN1eH/)()sin(/)ω(sin)(−−++++=㈡假設N1=0 且N2=4，求在頻率響應的大小)(jωeH為零時，對應在0 到2π間之ω值。（10 分）

考慮線性不隨時變系統(LTI)，若其輸入x[n]=u[n]，輸出][21=1nuy[n]1n+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−。㈠求該系統脈衝響應之z 轉換H(z)，及其在z 平面上收斂範圍，並繪出zero 及pole點之位置。（15 分）㈡求該系統脈衝響應h[n]。（5 分）

圖P3 為升降頻取樣系統，輸入訊號x[n]之傅立葉轉換（Fourier transform）為)(jωeX，系統頻率響應為)(ωjeH，L 與M 為正整數。求輸出訊號y[n]之傅立葉轉換)(jωeY。（20 分）

當離散傅立葉轉換(DFT)X[k]的長度N 為偶數，請證明其反向離散傅立葉轉換(IDFT)x[n]，可以表示為具半數負指標的和，即下列等式成立。（20 分）∑−−==12N2NkknN2jekXN1nx//)/(][][π五、考慮常係數差分方程式（Difference equation）定義為0nx1nayny=−−−][][][。假設][][nKnxδ=，輔助條件y[-1]=c，其中a, K, c 為任意常數。求該差分方程式的解y[n]。（20 分）圖P3圖P3x[n])(ωjeHy[n]LM