計算機數學考古題｜歷屆國考試題彙整

Bezout’s Theorem 描述當a,b 是正整數時，存在有兩個整數s 和t，使得 gcd(a,b) = sa + tb，gcd(a,b)是a,b 的最大公因數。已知gcd(252,198) = 18， 請找出s 和t，使得252s + 198t = 18。（12 分）

一個數列[1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…, ,30,…,30](30 個30)，請問，這些數的中 位數（median）為何？（10 分）

請解下列的遞迴函數：（12 分） an = 3an-1 + 1, a0 = 1

已知，0! = 1 ! = 1，n! = 1 2 3 … n，C(n,i)= n! !(n- )! i i ， C(n + 1,i) = C(n,i - 1) + C(n,i)。經計算，當n = 10 時，C(10,i), i = 0, 1, …, 10 個別為1,10,45,120,210,252,210,120,45,10,1。請問，在C(12,i), i = 0, …, 12 這十三個數字中，有幾個一位數（也就是小於10 的數）？有幾個二位數（也 就是大於等於10 但小於100）？有幾個三位數？有幾個四位數？（10 分）

擲一枚公平的骰子，設隨機變數X 為骰子出現的點數，求X 的期望值 E(X)和變異數Var(X)。（10 分）

某項調查指出，10%的人認為自己曾見過UFO（幽浮）。今隨機抽取10 人 作為樣本，求以下各項機率：（每小題6 分，共18 分） 恰好有1 人相信他看過UFO。 有2 到3 人相信他看過UFO。 至少3 個人以上（不含3）相信他看過UFO。

使用樹圖（tree diagram）來決定集合{3,7,9,11,24}中有幾個子集合的元素 總和小於28。（12 分）

假設學生的成績（從0 到100）是normal distribution，某位老師計算出 學生成績的(mean) = 50 和(standard deviation) = 10 後，依照−2, −, + , + 2四個數分成五份，個別給予成績為x的學生A(x ≥+ 2)、 B(+ ≤x < + 2) 、C(−≤x < + ) 、D(−2≤x < −) 、 F(x < −2)等級。其中，D 等級的為活當，可以補考，F 等級則死當， 無法補考。假設一個班級有200 人，那麼： （每小題8 分，共16 分） 說明如何利用下表（該表是計算standard normal distribution），將學生 成績換算成standard normal distribution？ 計算出該班200 名學生中，估計個別有多少人被死當？有多少人活 當？（經百分比計算出人數後四捨五入）。

假設G 為一無向權重圖（Undirected Weighted Graph），若G 的邊上權重 值（Edge Weight）均不相同，G 的最小擴張樹（Minimum Spanning Tree） 是否為唯一。若不是，請舉例說明；若是請說明其理由。（10 分）

集合 ，若an 代表Sn 子集合中不含連續數字的全部子集合 個數（不含空集合）。請用遞迴關係式表示an 及給予初始值。（10 分） } ..., ,2 ,1 { n S n =

F(x,y)代表邏輯敘述（Statement）「x 可以欺騙y」，請用邏輯關係式 （Logical Expression）表示下列敘述「有一些人是不會被任何人欺騙的」。 （10 分）

8 個不同的球，丟到3 個不同的盒子，每個盒子至少有一個球，共有多 少種不同的方法？（10 分）

一袋中有4 個紅色球4 個藍色球，若每次從袋中取出2 個球後，不放回 球袋中，總共可取4 次，每次取出都是1 個紅色球及1 個藍色球的機率 為何？（10 分）

擲一公平硬幣50 次，用中央極限定理（Central Limit Theorem）估算硬 幣正面出現低於20 次的機率，解答僅需列出數學公式。（10 分）

重複丟一骰子，若丟出的數字為6 則立即停止。若丟出的骰子數字為k， ，則等待k 分鐘後再丟此骰子。從開始丟骰子到停止丟骰子， 預期要花多少時間？（10 分） 5 k 1 ≤ ≤

連續隨機變數（Continuous Random Variables）X, Y 的聯合機率密度函數 （Joint Probability Density Function）定義如下： ⎩⎨ ⎧ < < < = otherwise x y if x f y x 0 1 0 / 1 , 計算E[X]。（5 分） 計算E[Y]。（5 分） 九、一間成衣生產工廠生產的成衣有5%是有瑕疵的，倘若隨機抽取475 件成 衣做為樣本，瑕疵的比例介於4%到6%之間的機率是多少？解答僅需列 出數學公式。（10 分） 十、新聞報導「成功訪問了950 人，在95%的信心水準下，有62%的人覺得 今年2 月份的氣候較往年溫暖，抽樣誤差在3.3%之內」，說明此段話所 指「信心水準」、「抽樣誤差」之意義。（10 分）

試利用數學歸納法（Mathematical Induction）證明：當n≧1 時，n < 2n。（8 分）

遞迴式an－3an－1 = 2－2n2，a0 = 1，求an。（12 分）

試求x1＋x2＋x3＋x4=30 有幾組正整數解，若  0 ≥ ix , i = 1, 2, 3, 4。（5 分）  7 2 1≤ ≤x 以及 0 ≥ ix , i = 2, 3, 4。（5 分）  1 − ≥i xi , i = 1, 2, 3, 4。（5 分）

投擲兩個公平骰子，若E 代表此二骰子點數和是7 點，F 代表第一顆骰子為3 點，G 代 表第二顆骰子為4 點，試問：E 與F 是否獨立？（4 分）E 與G 是否獨立？（4 分） E 與FG 是否獨立？（4 分）

假設某工廠有A, B, C 三條IC 生產線，其產量分別占總量之25%, 35%及40%。另外， 產品中壞的機率分別占5%, 4%及2%。試問： 任取一IC，其壞的機率為何？（4 分） 接著，來自A, B, C 三條IC 生產線的機率分別為何？（12 分）

令X 表示某一電子管的壽命（以小時計）。假設X 是連續隨機變數，其機率密度函數(pdf) 為 10000 2000 , ) ( 2 ≤ ≤ = x x k x f ，試求：k 值？（4 分）其累積分布函數(cdf)？（4 分） 電子管在5000 小時之前損壞的機率是多少？（4 分）電子管在6000 小時之後繼 續工作的機率是多少？（4 分）

若某工廠之產量平均500 個：利用Markov inequality，求某日產量超過1000 個之 機率是多少？（5 分）若其日產量之變異數為100 個，利用Chebyshev inequality 求某日產量介於40 至60 個之機率是多少？（5 分） 107年公務人員特種考試警察人員、一般警察人員考試及 107年特種考試交通事業鐵路人員考試試題 全一張 （背面） 考試別： 一般警察人員考試 等 別： 二等考試 類科別： 刑事警察人員犯罪分析組 科 目： 計算機數學（包括離散數學、機率與統計）

請解釋何謂「中央極限定理（Central Limit Theorem）」？（5 分）假設燈泡之壽 命為指數分布，期望值為10 天，利用下列常態分布（Normal distribution）值表，求 一年（365 天）中需要50 個以上燈泡之機率？（6 分） Area Φ(x) under the Standard Normal Curve to the Left of x

求遞迴式 2an = nan-1 + 3 · n! , n ≥ 1 , a0 = 5 之解an。（式中階乘 n! = n൫n - 1൯…· 2 · 1） （15 分）

求共有幾組整數(x , y) , 0 ≤ x ≤ 1000, 滿足一次方程式 493x + 391y = 51？（15 分）

今有A, B, C, D, E, F, G 七人，其中A 會說英文，B 會說中文和英文，C 會說英文、 韓文、俄文，D 會說日文、中文，E 會說德文、韓文，F 會說法文、日文、俄文， G 會說法文、德文，請問要如何安排七人入座於一圓桌，使得每人都能和左右兩邊 的人交談？（10 分）

實驗室有兩獨立警報器A 與B，單獨使用A 時有效之機率為0.92（即失靈之機率為 0.08），單獨使用B 時有效之機率為0.93。若知在A 失靈的條件下，B 有效之機率為 0.85，求在B 失靈的條件下A 有效之機率。（10 分）

已知隨機變數X 服從Poisson 分布，且P(X = 1) = P(X = 2), 求P(X = 4) = ？（15 分）

設總體X 服從二項分布 B(m , p)，試求 p 的最大似然估計量（maximum likelihood estimator）。（15 分）

學測英文成績為常態分布。已知往年平均成績為70 分，若今年抽取36 位考生得其平 均分數為66.5 分，標準差為15 分，請問在顯著水準（significance level）α = 0.05之下， 是否可認為今年全體考生平均成績與往年相同？（已知 t0.975(35) = 2.0301）（20 分）

(35) 20 分

請說明歸納證明法的基本概念，並以此概念證明：      n i n i i i 1

1

) ( ，nN（自然數）（10 分） 二、請說明bipartite graph 之定義，並說明下圖是否為bipartite graph。（10 分） 三、請證明anxn-1 是O（xn），其中an0，n 為大於一的正整數。（10 分）

請說明中國餘式定理（Chinese Remainder Theorem），並以中國餘式定理求解以下題目： x 2(mod 3)，x 1(mod 4)，x 3(mod 5)，求x。（10 分）

我們想計算x0x1x2…. xn 這n+1 個數的乘積，並定義有Cn 種不同的方式加入左右 括號，來表達這些乘法的順序。舉例來說，C3=5，因為有五種方式加入左右括號： ((x0x1)x2) x3，(x0(x1x2)) x3，(x0x1)(x2x3)，x0((x1x2)x3)，x0(x1(x2x3))。請 使用recurrence equation 來定義Cn，並計算出C5。（10 分）

一個隨機變數（random variable）X，它的機率密度函數為：         otherwise x x c 0 1 1 ) 1( f(x) 2 ，請申論X 的期望值（expected value）E[X]為何？（10 分）

一個銅板丟了1,000 次，結果有570 次是“頭”（head），我們是否可有結論說此銅 板不是公平的銅板（fair coin）？請申述之。（10 分） 104年公務人員特種考試警察人員、一般警察人員考試及104年 特種考試交通事業鐵路人員、退除役軍人轉任公務人員考試試題 代號： 20360 全一張 （背面） 類 科 別： 刑事警察人員犯罪分析組

在一個謀殺案的陪審團審案（jury trial）例子中，我們的虛無假設（null hypothesis） H0 和對立假設（alternative hypothesis）Ha 個別是： H0：被告是無辜的（innocent） Ha：被告是有罪的（guilty）  法院認定被告是有罪（guilty）的條件是必須要所有的陪審團團員認定被告有罪的 情況下，方認定被告有罪。請解釋為何如此設計。（7 分）  假使有陪審團在審判開始就對“有罪判決（guilty verdict）”這件事有偏見（也就 是對判決有罪這件事反感），這情況下值和值是增加還是減少？請說明你的理由。 （8 分） （注意：法院判決not guilty 不表示被告是innocent，僅表示法院無法超過某程度的 懷疑被告是guilty。） 九、某智慧型手機公司想了解民眾擁有智慧型手機的比例，問了500 位民眾，其中有400 位擁有智慧型手機。  從以上資料，粗略估計民眾擁有智慧型手機的比例。（5 分）  從粗略估計的比例計算90% 的信賴空間（計算參考下表），並解釋其結果。（請 以 41 .1 2  ， 24 .2 5  計算）（10 分） 表 Z/2 之值 信賴程度 100（1-）%  Z/2 90 .10 1.645 95 .05 1.96 99 .01 2.575

設集合S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，定義在S 上的關係R 如下： xRy 表示 4 4 − = − y x R 滿足等價關係（equivalence relation），試說明之。（9 分） 試寫出不同的等價類（equivalence classes）。 （9 分）

某人投資10000 元，每年獲利10%；設Sn 表示第n 年年末的總額， 寫出Sn 的遞迴關係（recurrence relation）及初始條件（initial conditions）。（9 分） 使用迭代法（method of iteration）寫出Sn 為n 的函數之公式。（9 分）

假設某一公司共有25 位員工，其中有20 位通過英文檢定考試，另外5 位沒有通過。 今從中隨機抽取2 位員工，試問： 此兩人都是英文檢定考試沒有通過的機率。（7 分） 有一人通過，另一人沒有通過的機率。（7 分）

假設投擲一個公正的骰子二次，若二次的點數相同則可獲得賭金的二倍，若二 次的點數不同則沒收該賭金。試問： 前五把皆輸掉的機率為何？（5 分） 平均需玩幾把才能贏一次？（5 分）

某同學期中考經濟學考了85 分、統計學考了70 分。已知全班成績統計如下：經濟 學平均80 分、標準差10 分，統計學平均64 分、標準差8 分。試問該同學的成績 相對於全班而言，那一個科目表現較優？說明原因 。（10 分）

在犯罪審判中，建立兩個假設如下： ⎩⎨ ⎧ 被告有罪 被告無罪 : : 1 0 H H 「被告無罪而判有罪」為何種誤差？（type-I 或 type-II）（5 分） 「寧可錯放一百，也不願錯殺一人」為增加α 或β？而減少α 或β？（5 分）

投擲一骰子60 次，其結果如下表所示： （20 分） 點數 1 2 3 4 5 6 次數 6 12 9 11 10 12 在顯著水準α＝0.05 下，試檢定：此一骰子是否為一公正骰子？ ) 0705 .1 1 (5) ( 2 0.05 = χ

(5)

假設G是一個無向簡單圖（undirected simple graph），且G包含12 個頂點 （vertices）。請 回答以下問題： G 至多包含多少邊（edges）？（10 分） 若G 是二分圖（bipartite graph），則G 至多包含多少邊（edges）？（10 分）

R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (2, 3), (3, 2)}是否為一個定義於集合 {1, 2, 3, 4}的相等 關係（equivalence relation）？若是，請找出所有的相等群（equivalence classes）。 若否，請擴充R使成為一個相等關係。（10 分）

請計算有多少組相異(x1, x2, x3, x4)解，可滿足以下方程式︰x1 + x2 + x3 + x4 = 18，其 中 x1, x2, x3, x4 皆為大於或等於0，但小於或等於7 的正整數。（10 分）

假設X, Y, Z為獨立事件，且p(X) = 0.5, p(Y) = 0.3, p(Z) = 0.2。請計算以下機率值：  p(X ∩ Y ∩ Z)。（10 分）  p(X ∩ Y | Z)。（10 分）

非洲草原上成年花豹獵殺瞪羚的成功機率約為0.4，且每隻成年花豹一年襲擊瞪羚 約500 次。請估算以下數值： 每隻成年花豹一年獵殺瞪羚的數目。（10 分） 以上，亦即，所得數目之標準差。（10 分） 六、某太極拳社團有100 成員，其年齡之算術平均值為45，樣本標準差為5。請計算將 所有年齡乘以2 再加5 之後之以下數值： 算術平均數。（10 分） 樣本標準差。（10 分）

在一個宴會場合有n 個人，互相握手。有些人互相握了手，有些人沒有互相握手， 任何兩人之間頂多只互相握手一次，不重複握手。（16 分） 用an代表握手次數為奇數的人數。試證明an必是偶數。 證明其中必有兩個人，其握手次數是相同的。

S={1, 2, 3,…, n} （16 分） 由S 到S 的一對一函數（one-to-one）共有多少種？ 由S 到S 的映成函數（onto）共有多少種？ 由S 到S 的一對一，且映成函數，而且又滿足f(i)≠i for all i=1 to n 共有多少種？

有一個n 階的樓梯，我們每走壹步可以跨一階或兩階。 試問總共有多少種不同的走法？ 例如n = 3 可以有1, 1, 1 或1, 2 及2, 1 共3 種走法。 用an代表總共有多少種不同的走法，寫出an的遞迴關係並求其解。（16 分）

有n 個編號袋子，1 號袋、2 號袋、… n 號袋。 每一個袋子都裝了a 個白球與b 個黑球。從第1 號袋子中隨機抽出一個球，將其放 入第2 號袋子。然後從第2 號袋子中隨機抽出一個球，將其放入第3 號袋子。如此 依序做下去3, 4, ..., n，最後在第n 號袋子中隨機抽出一個球。 問題：若第1 次在第1 號袋子抽出的是白球。試求出最後在第n 號袋子抽出的也是 白球的機率。（16 分）

假設我們要替很大的一群人抽血檢驗是否帶有某種病菌。由於檢驗一個血液樣本很 費時，我們可以把好幾個人的抽血樣本混合在一起做為一個檢驗單位，一次檢驗這 一個單位。 假設這個合併的血液單位，一次檢驗，如果檢驗結果是沒有病菌（negative result）， 則這幾個人全部都沒有病菌。但若檢驗結果是有病菌（positive result），則這幾個 人必須再重新抽血，一一個別檢驗一次。目標是希望總共檢驗次數少一點。 假設共有N 個人，每k 個人分為一組，共有n 組，且N = kn。 若對這N 個人都個別一一檢驗，需要N 次檢驗（individual test）。 若每k 個人一組合併血液作一次檢驗，可能最少只需n = N/k 次檢驗（若所有N 個 人都沒有病菌）。但最多則需n + N 次檢驗（若每一組都有人帶有病菌）。 假設每一個人帶有病菌的機率是p，且都互相獨立無關（independent）。在每一組k 個人是否帶有病菌也都獨立無關。（18 分） 試計算並推導出上述分組檢驗，總共檢驗次數的期望值。 若N = 100, p = 20/100, k = 2。試計算這樣的分組檢驗，其總共的檢驗次數期望值 是多少？ 99年公務人員特種考試警察人員考試及 99年特種考試交通事業鐵路人員考試試題 類 科： 刑事警察人員犯罪分析組 全一張 （背面） 六、從一個常態分布（normal distribution）N(µ,σ2)的母體，取出n個隨機樣本（random sample）x1, x2, x3, …, xn。（18 分） 試推導出mean µ及variance σ2的maximum likelihood estimator。 上述的estimator 是否unbiased estimator？若是，證明之。若否，則寫出一個unbiased estimator 並證明它的確是unbiased。

由0 與1 兩數字所形成長度為n 的數列中，000 不出現的數列數目用bn 表示，請 導出bn 的遞迴關係式。 以cn代表具有n 個節點之相異二元樹的數目，請導出cn的遞迴關係式。 （18 分）

設一連結平面圖（connected planar graph），具有v 個點（vertices）和e 條邊（edges）， 在平面上切割出r 個區域（regions）。（18 分） 請寫出Euler’s formula，若每一區域至少有4 個邊，請寫出v 與e 之間的不等式 關係。 K3,3（complete bipartite graph on 3 and 3 vertices）是否為平面圖？試說明之。

已知母體的機率分配如下： x 1 3 5 F(x) 0.2 0.3 0.5 採用放回抽樣方式，隨機抽出樣本大小為2 的樣本。（15 分） 求出母體的平均數與母體的變異數。 求出樣本平均數的抽樣分配。 求出樣本變異數的抽樣分配。

某公司購進一批電晶體，其中50%來自供應商A，30%來自供應商B，20%來自供 應商C。已知A 供應商的電晶體中有2%是不良品，B 供應商的電晶體中有3%是不 良品，C 供應商的電晶體中有5%是不良品。（15 分） 如果從此批電晶體中任選一個，則它是不良品的機率為何？ 已知選出的電晶體是不良品，則它來自供應商A 的機率為何？ 已知選出的電晶體不是來自供應商A，則它來自供應商B 且為不良品的機率為何？ 98年公務人員特種考試警察人員考試、98年特種考試交通事業 鐵路人員考試及98年公務人員特種考試民航人員考試試題 代號：20240 類 科： 刑事警察人員犯罪分析組 全一張 （背面）

從甲、乙兩輪胎公司各選10 個輪胎做壽命檢查，得到甲公司輪胎的平均壽命為 82.6，標準差為4.5265；乙公司輪胎的平均壽命為84.9，標準差為6.6575。假設兩 公司輪胎壽命均具有常態分配：（18 分） 在α = 0.05 的顯著水準下，檢定此兩公司輪胎壽命的變異數是否相等？ 假設兩公司輪胎壽命的變異數相等，試在α = 0.05 的顯著水準下，檢定此兩公司 輪胎平均壽命是否相等？ 六、請舉例說明四種探討兩個變數間關係的統計方法，並詳細比較各個方法間在變數資 料內涵及分析產生結果內涵上的差別。（16 分） 附註：F0.025,9,9=4.03, F0.025,10,10=3.72, F0.05,9,9=3.18, F0.05,10,10=2.98 t0.025,18=2.1009, t0.025,19=2.0930, t0.025,20=2.0860, t0.05,18=1.7341 t0.05,19=1.7291, t0.05,20=1.7247

假設input alphabet 是包含0 與1 的所有可能字串的集合，請用regular expression 表 示下列集合： 所有由0 與1 構成的字串且0 出現的次數正好為兩次。（5 分） 所有由0 與1 構成的字串且0 出現的次數必須為奇數次。（5 分）

運用邏輯推論法則中的矛盾證法，證明下列推論，並說明每一步驟理由。（10 分）           s q r p r q p      V s V

假設Sn 是所有n 位的二元序列中沒有出現010 的個數。列出Sn 的遞迴關係及初始 條件。（15 分）

在某間電腦公司的上班員工中，有80%為男性及20%為女性。已知在男性員工中會 寫Java 程式者是女生會寫Java 程式者的x 倍。若從公司內所有會寫Java 程式的員 工中隨機抽取一位，該名程式設計人員為男性的機率為50%。另女性會寫Java 程式 者在女生中所佔比例是20%。試求男生中會寫Java 程式者在男生中所佔的比例是多 少？（15 分）

付15 元投擲一個公平的骰子一次，如果出現點數為x，則可以獲得x2 元。試求獲利 的平均數與變異數。（10 分）

下列遞迴關係是Quicksort 的平均計算時間： 1 1 T( ) T( 1) T( ) 1 n p n p n p n n               其中n 代表輸入值的個數。假設當n≦2 時T(n)=1，請證明T(n)=O(n log n)。 （15 分）

某一電腦零售商根據過去銷售的情形分析得知，桌上型電腦佔了20%，筆記型電腦 佔了45%，小螢幕電腦佔了35%。廠商為了存貨管理問題，想了解各型電腦現今銷 售情形是否仍維持不變？分析最近200 筆銷售紀錄發現：桌上型電腦賣了48 台， 筆記型電腦賣了76 台及小螢幕電腦賣了76 台。請在5%的「顯著水準」下，檢定 現今銷售情形是否仍維持不變。（10 分） 附註：χ2 5%,1=3.841，χ2 5%,2=5.991，χ2 5%,3=7.815，χ2 5%,4=9.488

某電腦公司徵聘工程師，依應徵者報名先後順序從1 到N 編號，但N 是多少並未 對外公布。主考官隨機抽樣7 位應徵者，其編號為：50, 42, 64, 24, 12, 34, 76。試依 下列方法估算N 值： 樣本平均數。（5 分） 中位數。（5 分） 全距。（5 分）

下圖中每個小格子都是一個小正方形。 請問上圖中共有多少個長方形（正方形不計）?（5 分） 假設m ≤ n，則一個寬有m 格、長有n 格的棋盤中共有多少個長方形（正方形不 計）?（10 分）

小明很喜歡吃巧克力，因此他買了40 顆巧克力糖，準備在寒假的28 天裡吃完。他 在寒假中每天至少吃一顆巧克力糖。試證明或反證下列敘述：不論他如何安排每天 吃的數量，其中一定會有連續若干天所吃的總巧克力糖數量等於15。（15 分）

在下圖中，含有6 個封閉區域，現每一封閉區域以黑色、白色或紅色塗一色。能由 旋轉（rotate）或翻轉（flip）得之的視為同一種塗法。 請列出其permutation group 之cycle structures。（5 分） 其cycle index 為何？（5 分） 其pattern inventory 為何？（5 分） 請問共有多少種塗法？（5 分） 請問上述塗法中，剛好有二個區域為黑色的塗法有多少種？（5 分）

「雜湊對映」（Hash Mapping） 為一種資料儲存與搜尋的技術。若要存取某筆資料 x，則先將x 經過hashing function 計算，得出hashing address，再到hash table 對應 的bucket 中進行存取x 的動作。但是此方法利用hashing function 將較大的鍵值空間 對應到較小的實際記憶體空間，所以有可能會發生碰撞（collision），亦即不同的 鍵值有可能對應到相同實際記憶體位置。故為了解決此問題，有的人會使用開啟位 址法（open addressing），在碰撞時，另外找一個空的bucket 來放置新的資料。尋 找到空的bucket 的次數將和此hash table 的負載比率（load factor）α有關。舉例而 言，若α=90%，則第一次找到的bucket 是空的機率為10%。試證明尋找到空的 bucket 的次數大約為 α − 1 1 。（15 分） 96 年公務人員特種考試第二次警察人員考試試題 代號： 類 別： 刑事警察人員犯罪分析組 全一張 （背面） 20440

由於最近記憶體價格大跌，某電腦店的老闆欲調整其個人電腦的售價，他可採取下 列兩種措施： 措施A：每臺個人電腦都調降3000 元。 措施B：每臺個人電腦都調降為其原售價的90%。 試問措施A 對售價的平均數、中位數、眾數及標準差有何影響？試分析之。 （8 分） 試問措施B 對售價的平均數、中位數、眾數及標準差有何影響？試分析之。 （8 分） 六、某警局有一套測謊系統，受測者若說謊，此測謊系統會判定其說謊的機會是97%， 而誤判為未說謊的機會是3%。在另一方面，受測者若未說謊，此測謊系統也有可 能會判定其說謊，其機會是5%。假設已知一般人在該警局受測時說謊的機會是 10%。若某人受測時，此測謊系統判定其說謊，請問他說謊的機會是多少？試分析 之。（14 分）

假設 input alphabet 是包含0 與1 的集合： 請繪製一僅能接受010 結尾的語言的finite-state automaton。（10 分） 請繪製一僅能接受1 的數目可被3 整除的語言的finite-state automaton。（10 分）

已知 2 ,1 0 0 = = b a ， 1 1 − −+ = n n n b a a 和 1 1 − −− = n n n b a b 。求 n a 和 nb ，n≧1。（20 分）

證券交易所為了怕電腦當機造成股市交易困擾，運作系統除一部主電腦外，另有 一部備用電腦。如果每部電腦當機的機率是0.05，試問系統正常運作的機率可達 多少？（7 分） 電話總機平均5 分鐘接到3 通報案電話，假定報案電話數目呈Poisson 分配。現接到 報案電話，請寫出接到下一通報案電話的間隔時間之機率密度函數（probability density function），並求算5 分鐘內沒有接到報案電話的機率。（8 分）

檢驗一批產品的過程中，規定出現2 個不良品即予以停止。令隨機變數X 表示此檢 驗過程中所出現的良品個數，設不良品的機率為P。 寫出此試驗的樣本空間，並列出X 的值。（5 分） 求出X 的機率分配。（5 分） 設P=0.1，計算P（X<2）。（5 分）

某生產主管在說服管理當局採行一種新生產方式時，必須說明新方法可降低成本 才行。目前的生產方法，其每小時的平均成本為$200。為決定公司是否應採行新 生產方法，該如何建立虛無假說與對立假說。（5 分） 若銷售者（生產者）與購買者（消費者）商定貨品的驗收標準為不良率2%，雙 方據此標準做決策。請表述此問題的生產者風險與消費者風險。（5 分） 六、設有四位作業員分別在三部機器上操作一次，記錄各作業員操作各部機器的產量， 其ANOVA 表的部分值如下： 變異來源 平方和(SS) 自由度(df) 均方(MS) F 值 作業員 348.000 機器 547.167 殘差 總和 940.667 試檢定各作業員的能力與各機器的性能是否有差異？（α=0.05）（5 分） 若不考慮機器的差異，只考慮作業員的分析。試寫出其ANOVA 表，並檢定各作 業員的能力是否有差異？（α=0.05）（5 分） 請就與的結果作說明。（10 分） 附： 14 .5 ) 6,2 ( 05 .0 = F , 47 .4 ) 6,3 ( 05 .0 = F , 46 .4 ) 8,2 ( 05 .0 = F , 07 .4 ) 8,3 ( 05 .0 = F 98 .3 ) 11 ,2 ( 05 .0 = F , 59 .3 ) 11 ,3 ( 05 .0 = F , 09 .3 ) 11 ,6 ( 05 .0 = F , 95 .2 ) 11 ,8 ( 05 .0 = F 26 .7 ) 6,2 ( 025 .0 = F , 60 .6 ) 6,3 ( 025 .0 = F , 06 .6 ) 8,2 ( 025 .0 = F , 42 .5 ) 8,3 ( 025 .0 = F 26 .5 ) 11 ,2 ( 025 .0 = F , 63 .4 ) 11 ,3 ( 025 .0 = F , 88 .3 ) 11 ,6 ( 025 .0 = F , 66 .3 ) 11 ,8 ( 025 .0 = F