刑事警察人員 98 年數位訊號處理(DSP)考古題

給一如下離散餘弦轉換公式（Discrete Cosine Transform：DCT）NNyxfjCiCNjiDxy2cos2cos),()()(2),(00=∑∑==jyixNN)12()12(111ππ++−−0=，在上式中，當i時，2/1)(=i1)(C，否則=iC；當時，0=j2/1)(=j1)(=C，否則jC；), y(xf代表位於位置的影像像素灰階值。請將上式作用於下列8),(yx8×影像，算出DCT 係數矩陣的直流（Direct Current：DC）值。（25 分） 102312 579223 022321 658121 123293 216117 030202 010014 234544 200502 210312 033412 006022 701202 102212 323706 916012 222241 269020 660212 252243 261492 216190

給N 個基底向量⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+++=NNiNNiNNiNNBi2)1)(12(cos2,,22)12(cos2,2)12(cos2,1πππL，10−≤≤Ni，試證明該N 個基底向量具有單位正交性（Orthonormality），亦即證明當時；當1,>=<tjti BBji =0,>=<tjti BBji ≠時，此處符號< , >表示內積（InnerProduct）運算。（25 分）98年公務人員特種考試警察人員考試、98年特種考試交通事業鐵路人員考試及98年公務人員特種考試民航人員考試試題 代號： 20250

令iNiiNeWπ2=為1 的基本根（Primitive Root）且滿足。從複數平面上的單位圓來看，滿足的N 個複數根分別為1=NNW1=NNW 1210 ,,,,1−==NNNNNNNWWWWWL。8=N時，傅利葉矩陣為⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛= 123424 636144 456724 672544 527464 276541 636423 218111 111111 111111 11111 WWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWF在的矩陣中，為簡化起見，我們簡化為。因為，所以。給一輸入序列8FiW8iW 228288 8108 WWWWW==×=28]7,4[WF=Xv ，可利用XFNv 來完成傅利葉轉換，請詳細證明快速傅利葉轉換可在)log(NNO的時間完成。（25 分）

令⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−−=−=∑∑=NvyuxjNxNyeyxfvuF)( 21010 ),(),(π，試證明⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−−=−=+∑∑−NvyuxjNxNyyxeyxf)( 21010 )1)(,(π)2,2(NvNuF−−=。（25 分）