刑事警察人員 107 年數位訊號處理(DSP)考古題

考慮由下列輸出-輸入線性差分方程式所描述的數位訊號與系統 y(n) = [x(n+1) + x(n – 1)]/2 請推導該系統之頻率響應函數H(ω) = ∑ h(n) e –jωn =Y(ω) / X(ω)。（10 分） 請根據上述結果，計算將下列訊號x(n)輸入上述系統所產生的穩態輸出 y(n)。 （10 分） x (n) = 5 + 4 sin(0.5nπ + 60。 ) + 3 cos(nπ), –∞≤ n ≤∞

考慮數位訊號ݔ(݊)，0 ≤ n ≤ N，ݔ(݊)的N 點傅立葉轉換ܺN(k) =∑ ݔ(݊) ேିଵ ௞ୀ଴ ݁ݔ݌ቀ ି௝ଶ஠௞௡ ே ቁ。 如果ݔ(݊)的週期為L，請推導傅立葉轉換ܺL(k)與ܺ2L(k)的關係。（10 分） 如果ݔ(݊)={0, 1, 0, 1, …}，請計算ܺ2(k) ={ ܺ2(0), ܺ2(1)}與ܺ4(k) ={ ܺ4(0), ܺ4(1), ܺ4(2), ܺ4(3)}來驗證上述關係，並請說明此關係的物理意義。（10 分）

假設數位訊號ݔ(݊)的Z 轉換為ܺ(ݖ) = ∑ x(n) ݖି௡。請推導（並以ܺ(ݖ)來表示）訊號ݔ1(݊) = ݔ(2݊) 的Z 轉換。（20 分）

請解釋有關於有限頻帶訊號數位化之取樣定理。（5 分） 請分別於時間域與頻率域，繪圖說明違反上述取樣定理所造成的重建訊號失真現 象。（10 分）

考慮因為衛星影像拍攝過程為每一列影像像素分別擷取，並且有相當的時間差異， 因此造成影像中有橫紋干擾的現象（如下圖左，右側為局部放大圖）。 請解釋上述橫紋干擾於頻率域的位置分布。（10 分） 請提出可以有效消除上述干擾，但不影響原有景物影像的方法。（10 分） 請說明使用局部平均(例如5×5 local averaging)來消除此干擾的缺點。（5 分）