統計 114 年抽樣方法與迴歸分析考古題

在一地區抽樣調查400 人，其中有40 人使用A 品牌手機。 ㈠試求此地區使用A 品牌手機人數比例p 的95%信賴區間（註： 0.025 1.96 Z ）。（10 分） ㈡若誤差 04 ˆ 0. e p p ，則在95%的信賴水準下，樣本大小n 至少應 為多少？（15 分）

某位統計學家想估計A 鎮居民每月生活花費。設該鎮有 120 N 鄰，此統 計學家隨機抽出 4 n 鄰，再由其中抽出數戶，得資料如下：（單位：千元） 每鄰戶數 i M 樣本戶數 i m iy 80 8 16 47 5 30 62 6 21 39 4 45 試求： ㈠該鎮居民每月平均生活花費Y 的比例機率兩階段估計值。（7 分） ㈡該鎮居民每月平均生活花費Y 的95%近似信賴區間。（18 分）

統計學家對某組數據，以最小平方法所配適的迴歸線為： 0 1 1 ˆ ˆ ˆi i y x 其中最小平方估計式 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 ˆ ( )( ) ( ) n i i x y i n x x i i x x y y S S x x 。但實際上，反應值 iy 還會受到第二個變數 2i x 影響，因此真實的迴歸線如下： 0 1 1 2 2 ( ) i i i E y x x 在此情形下，請問以最小平方估計式 1ˆ來估計 1 的偏誤量（bias）為多 少？請詳細列出偏誤量的數學式及其推導過程。（25 分）

簡單線性迴歸模型如下： i 0 1 i i Y X ε , i 1, ,n 其中iε 為iid 且服從 2 N(0,σ )。今某高中老師收集12 位學生的英文成績 （X）及數學成績（Y）如下： X 65 63 68 65 66 65 68 67 72 67 70 63 Y 63 65 71 64 68 63 65 66 70 68 69 67 ㈠請以此資料配適簡單線性迴歸模型。（10 分） ㈡以所配適的模型，預測當學生英文成績為69 時，數學成績為何？（5 分） ㈢請以α 0.05 ，進行雙尾檢定 0 1 H : 0 ， 1 1 H : 0 。請寫出詳細檢定 過程與結果（註：10,0.025 t 2.2281 ；11,0.025 t 2.2010 ；12,0.025 t 2.1788 ）。 （10 分）

28 2 120 32 2 i i y s 與 分別為第i 區該項業務的平均每週申辦數及樣本變異數 ㈠估算該業務平均的每週申辦數量。（5 分） ㈡計算95%近似誤差界限。（15 分） 三、某市政府工務單位欲瞭解其約聘僱人員的工作滿意度分數Y（分數愈高 滿意度愈高）之影響因素，考慮以下解釋變數： 1 X ：工作年資（年） 2 X ：薪資（千元） 及學歷（分「高中及以下」、「大專」、「研究所及以上」等三類），並定義 變數如下： 3 4 1 1 0 0 X X ， 若蒐集30 位約聘僱人員的資料，將Y 對 1 2 3 4 X X X X 和 、、 進行迴歸分析， 得到以下迴歸模型的估計： 估計值 標準誤 截距項 13.24 7.29 1 X 8.69 2.56 2 X 1.35 0.38 3 X 4.92 2.10 4 X 5.89 4.10 SST=989.7，s=4.8 SST 為總變異平方和（total sum of squares），s 為迴歸誤差之標準差的估 計值。回答以下問題： ㈠說明所建立的迴歸模型及其所需誤差的假設。（6 分） ㈡分別說明 3 X 與 4 X 之估計的迴歸係數的意義。（6 分） ㈢以顯著水準為0.05，分別檢定 3 X 與 4 X 的迴歸係數之顯著性。（10 分） ㈣寫出此配適模型的變異數分析（analysis of variance）表，並詳細說明 計算過程。（10 分） ㈤以顯著水準為0.05，檢定此迴歸模型之所有解釋變數的係數是否皆等 於0。（6 分） ㈥計算調整的判定係數（adjusted coefficient of determination）。（6 分） ㈦說明均方誤（mean squared error，MSE）的定義與意義，並計算此配 適模型的MSE 值。（6 分） 大專學歷 其他 研究所及以上學歷 其他 附表一： α tα 附表二：