統計 114 年統計學概要考古題

假設新冠肺炎之某快篩試劑的準確率為95%，亦即若有一人感染該病症， 那麼該試劑的檢測結果有95%的機率為陽性。反之，若一人未感染該病 症，那麼該試劑的檢測結果有9%的機率為（偽）陽性。若某一城市有25% 的人口已感染新冠肺炎，且該城市的某一市民使用該快篩試劑的檢測結果 為陽性，在此情形下，該市民實際感染新冠肺炎的機率為何？（15 分）

某甲投擲三個公正銅板（亦即正反面的出現機率皆為1/2），並觀察其落 地後的正反面結果。請回答下列問題： ㈠請寫出此一隨機實驗的樣本空間（sample space）。（提示：三個銅板的 投擲結果若分別為“正面”、“反面”、“正面”，那麼樣本空間中有一個元 素為“（正反正）”，其餘類推）（5 分） ㈡令隨機變數X 代表三個銅板投擲後的正面出現次數（例如，當三個銅板 的投擲結果分別為“正面”、“反面”、“正面”，那麼 2 X ，其餘類推）， 請寫出X 的機率分布。（7 分） ㈢請計算X 的期望值( ) E X 與變異數 ( ) Var X 。（8 分） ㈣若有10000 人輪流做此種三個銅板的投擲實驗，得出如題㈡之X 的 10000 個隨機變數 1 2 , , , X X X ，那麼 1 2 X X X X 會很接 近題㈢那個數值？請說明你的答案及所依據的統計學定理。（10 分）

某賣場經理為研究其顧客之入場消費情況，他隨機抽取了400 個顧客的消 費紀錄，發現這400 個顧客的平均消費金額為新臺幣（下同）2150 元，並 且已知其賣場顧客消費金額的（母體）標準差為625 元，且其顧客的消費 金額呈常態分布。 ㈠請計算出全體入場顧客平均消費金額的95%信賴區間。（15 分） ㈡如果賣場經理覺得題㈠的信賴區間太寬，那麼在維持信心水準95%及消 費金額標準差不變的情況下，應該怎麼做才能讓信賴區間變窄？請說明 你的理由。（5 分） ㈢如果其他情況保持不變，將信賴區間的信心水準由95%降至90%，則信 賴區間會變窄還是變寬？請說明你的理由。（5 分） ㈣若在進行抽樣調查之前，賣場經理決定使用樣本平均數（sample mean） 做為所有顧客平均消費金額的點估計，且已知其賣場顧客消費金額 的（母體）標準差為625 元，在此情形下，其顧客消費金額的抽樣數目 應至少設定為多少，才能有95%的機率使估計誤差可以控制在50 元 以內？（10 分）

某人修習一門程式設計課程，並撰寫了模擬投擲骰子的程式，任課老師為 了檢定其程式是否能模擬出公正的擲骰子實驗（亦即1、2、3、4、5、6 點 的出現機率皆為1/6），於是利用該程式模擬出120 次的骰子投擲，其結 果如下： 點數 1 2 3 4

假設手機的應用程式之生命週期（y）（單位：年）與其發布後半年內的 下載次數（x）服從線性模型，y x e ，其中e 服從 2 (0, ) N 。 若隨機取樣12 款已經被市場淘汰之應用程式，得到以下數據： 2 2 6345, 4050445, 39.64, 152.7, x x y y xy ， 且判定係數為0.9288。（每小題10 分，共20 分） ㈠試求回歸方程式與β 的95%信賴區間。 ㈡若一新款應用程式發布後半年內被下載500 次，試求其生命週期的 95%預測區間。 附表一：z 表 Example: If z=1.96, then (0 to z)=0.4750 附表二：t 表 Example: With df =9 and .10 area in the upper tail, t =1.383 附表三：χ2 表 Example: With 17 df and a 0.02 area in the upper tail,X2=30.995 附表四：F 表 附表五：F 表

出現次數 15 25 22 17 25 16 ㈠請寫出任課老師進行卡方適合度檢定（goodness of fit test）的虛無假設 與對立假設。（5 分） ㈡請寫出在題㈠之虛無假設下，該程式在此實驗中生成骰子點數1、2、3、 4、5、6 的期望出現次數。（5 分） ㈢請以題㈠與題㈡的結果進行適合度檢定，並說明該修課的同學，其程式 是否能成功模擬公正骰子的投擲。（10 分） 常態機率表 常態機率表使用示例： 0.00 1.29 0.9015 卡方機率表使用示例： 0.00 9.49 面積=0.05 4 2 卡方機率表

豪華型價格（美元） 39 39 45 38 40 39 35 標準型價格（美元） 27 28 35 30 30 34 29 ㈠該製造商建議的兩種型號零售價有10 美元的價差。請以0.05 的顯著 水準，檢定這兩種型號價格之間的母體平均差是否為10 美元。 ㈡請計算兩種型號平均價格之差的95%信賴區間。 t 分配的左尾機率： ( ) ( ) T t df P T t p ， 自由度 5 5 5 5 5 5 5 t 值 3.3649 2.5706 2.015 1.4759 0.9195 0.7267 0.5594 機率值p 0.01 0.025 0.05 0.1 0.2 0.25 0.3 自由度 6 6 6 6 6 6 6 t 值 3.1427 2.4469 1.9432 1.4398 0.9057 0.7176 0.5534 機率值p 0.01 0.025 0.05 0.1 0.2 0.25 0.3 自由度 7 7 7 7 7 7 7 t 值 2.998 2.3646 1.8946 1.4149 0.896 0.7111 0.5491 機率值p 0.01 0.025 0.05 0.1 0.2 0.25 0.3 四、一名氣象觀測員記錄了過去5 年來，每年5 月同一個5 日期間的每日最 高氣溫（單位：℉），數據如下： 55, 86, 94, 58, 55, 95, 55, 52, 69, 95, 90, 65, 87, 50, 56, 55, 57, 98, 58, 79, 92, 62, 59, 88, 65 該觀測員想檢定這些數據是否服從常態分配。他採用卡方適合度檢定， 並在常態分配的假設下，依據累積百分比（20%、40%、60%、80%）將 資料分為5 個組別，計算出的組界如下：第1 組：小於56.72；第2 組： 56.73～66.75；第3 組：66.76～75.25；第4 組：75.26～85.28；第5 組： 85.29 及以上。在α = 0.01 的顯著水準下，請根據計算結果，說明統計檢 定結論為何？（需寫出虛無假設及此檢定的自由度，需計算檢定統計量 及決定臨界值）（15 分） 卡方分布臨界值表（α = 0.01） 自由度（df） 1 2 3 4 5 6 7 臨界值 6.6349 9.2103 11.3449 13.2767 15.0863 16.8119 18.4753 五、六家小型租車公司的營運車輛數（千輛）與年營收（百萬美元）之間的 關係如下表： 公司名稱車輛數（千輛）年營收（百萬美元） 安順租車 11.5 118 節省租車 10.0 135 王牌租車 9.0 100 優選租車 5.5 37 三角租車 4.2 40 超值租車 3.3 32 令x 營運車輛數（千輛），y 年營收（百萬美元），估計的迴歸方程式 為ˆ 17.005 12.966 y x 。此模型的誤差平方和SSE 1043.03 。請回答下 列問題：（每小題10 分，共20 分） ㈠計算判定係數並解釋此數值的意義。說明估計的迴歸方程式是否提供 良好的配適？ ㈡樣本相關係數值為何？根據此係數，營運車輛數與年營收之間呈現強 相關還是弱相關？