統計 109 年統計學概要考古題

為開發某新型流行病的檢測工具，研發單位分別招募經醫師診斷確認 已得病與未受感染的自願受測者。檢測結果顯示，已得病者的陽性率 為90%；未受感染者的陰性率為95%。過去的資料顯示這個新型疾病 的盛行率（整體得病的比率）大約15%。根據這些檢測工具的資訊， 請回答下列問題： ㈠整體的陽性率為何？（8分） ㈡檢測為陽性的民眾其得病的機率為何？檢測為陰性的民眾其未受 感染的機率為何？（12分）

咖啡豆批發商販售母豆（或稱平豆，為雙核果咖啡豆）、公豆（或稱 圓豆，為單核果咖啡豆）以及混合豆（公、母豆以特定比例混合）等 三類型咖啡豆。某連鎖咖啡店欲購買一批標示為30%混合咖啡豆（公 豆顆數約30%），透過重量推估，這批貨約N 顆咖啡豆，為確保品質 （公豆比例超過30%），採購經理先隨機取出100顆混合豆樣本，逐一 檢視並記錄其中公豆的個數，記為x，作為下單決策的參考。假設真 正的混合比例為p，請回答下列問題： ㈠請以隨機變數的概念，寫出公豆個數X的分配，以及其對應的常態 近似分配。（10分） ㈡經理將透過統計檢定決定是否採購，並希望該決策的錯誤率控制 在5%內。請寫出適當的檢定假說、檢定統計量的計算公式、臨界 值，以及棄卻域，在x=38下，完成檢定假說並建議經理，是否採 購。（15分）

抽樣調查的結果顯示，10月份15家以個人旅遊為主的旅行社的月平均 營收為2,930萬元，標準差為485萬元；10家以企業旅遊為主的旅行社 的月平均營收為3,250萬元，標準差為245萬元。假設月營收資料服從 常態，請定義適當的變數及參數，並根據上述資訊，回答下列問題： ㈠請寫出兩類型的旅行社營收的變異數是否相同的假說檢定、統計量 的計算公式、棄卻域，以及臨界值，並根據上述資料，在5%的顯著 水準下，完成檢定提出檢定結果。（12分） ㈡請根據㈠的結果寫出兩類型旅行社月平均營收差是否相同的假說 檢定、統計量的計算公式、棄卻域，以及臨界值，並算出檢定統計 量及檢定p-值。（18分）

美國某貨運公司經理想要了解黑色星期五熱銷期間，運送距離（英里） 與送達所需要的天數之間的關係。隨機挑選30筆批發運送業務的資 料，其敘述性統計如下：平均運送距離為725.85、標準差為87.45；平 均送達所需的天數為8.4、標準差為2.7；運送距離與送達天數的相關 係數為0.69。請根據上述資訊，回答下列問題： ㈠請算出運送距離與送達天數的共變異數。（6分） ㈡請以適當符號，寫出以運送距離預測送達所需天數的迴歸預測模 式，並以上述資料估計迴歸模式的係數。（13分） ㈢請用㈡所算出的係數，寫出以運送距離預測送達所需天數的迴歸預 測模式。假設有一批貨的運送距離是755英里，請運用上述迴歸預 測模式，預測這批貨的送達天數。（6分） 表一 常態分配表 2 2 1 ( ) ( ) 2 t z z P Z z e dt 表二 t 分配表 表三 F 分配表

80~100以下 11 295

100~120以下 5 300 請根據此分組之次數分配表資料，試計算下列樣本統計量之值： （每小題10分，共30分） ㈠算術平均數 ㈡標準差 ㈢第10百分位數（P10） 二、設 9 X 與 25 X 為分別從常態母體N( , 3)中隨機抽取9個與25個樣本的樣 本平均數。今要對參數進行檢定，而我們所設定的統計假設為H0:=0及 H1:=1；若有兩個檢定規則（拒絕域）如下： 規則1：若 9 X >1.6則拒絕H0；規則2：若 25 X >1.0則拒絕H0。 試求： ㈠請分別計算規則1與規則2之檢定力（power）為多少？（8分） ㈡請分別計算規則1與規則2之顯著水準為多少？（8分） ㈢由㈠及㈡的結果，對所設定的統計假設，那一個檢定規則較佳？為什 麼？（6分） 三、一項有關職場菸害防制的研究，想比較臺灣北部、中部及南部等三個地區 職場菸害防制狀況的差異，分別在北部、中部及南部等三個地區隨機抽 訪了400位、300位及300位等總共1000位職場工作者，經整理得資料如下 表： 地區 職場菸害防制狀況 北部 中部 南部 全面禁菸 262 190 188 有劃設吸菸區 26 14 20 無禁菸規定 112 96 92 合計 400 300 300 試以顯著水準= 0.05下，檢定北部、中部及南部等三個地區，職場菸害 防制狀況有無差異： ㈠可以用那一種統計方法進行檢定？請寫出統計方法之名稱。（5分） ㈡承㈠所選的統計方法，完成該項檢定與結論。（需寫出必須的檢定步驟） （15分） 四、某一速食店經理為瞭解其廣告促銷的效果，乃抽取20家分店做實驗，比較 廣告促銷前後的銷售量效果。設Xi表示分店廣告促銷前的銷售量，而Yi表 示分店廣告促銷後的銷售量。實驗結束後，經統計得相關資料如下：廣告 促銷前的平均銷售量 x ，變異數 2 Xs ；廣告促銷後的平均銷售 量 y ，變異數 2 Ys ；廣告促銷前後銷售量的相關係數rXY=0.8。 又假設Xi與Yi呈現線性相關，其模式為 i i i Y X ，其中 i為隨機誤 差項，且 2 ~ (0, ) i N ，i = 1, 2,…, 20。則： ㈠試根據上述資料，以最小平方法估計迴歸直線 Y X 。（10分） ㈡試求迴歸誤差之母體變異數 2 的估計值為何？（8分） ㈢試以顯著水準 0.05 ，檢定 0 1 H ： ， 1 1 H ： 。（10分） 註1：本試題可能使用的統計表之參考值如下： 101 .2 ) 18 ( t0.025 ， 93 0.2 ) 9 1( t0.025 ， 6 8 0.2 ) 20 ( t0.025 ， 1.734 ) 18 ( t0.05 ， 1.729 ) 9 1( t0.05 ， 1.725 ) 20 ( t0.05 ， 14 . 11 ) 4 ( 2 025 .0 ， 02 . 19 ) 9 ( 2 025 .0 ， 49 .9 ) 4 ( 2 05 .0 ， 92 . 16 ) 9 ( 2 05 .0 註2：標準常態機率分配表，Z ~ N(0,1)