統計 106 年統計學概要考古題

由兩組具有常態分配且相互獨立之母體（分別稱為母體I，母體II）分別抽出樣本數 為 9 1 = n ， 4 2 = n 之兩組隨機樣本。（每小題10 分，共20 分） ㈠若已知母體I 的變異數

1 σ 之95%信賴區間為[11.4061, 91.7557]，母體II 的變異數 2 2 σ 之 95%信賴區間為[5.1346, 222.4282]。請求出兩母體標準差比 1 2 σ σ 之95%信賴區間。 ㈡根據上述條件，請以顯著水準 05 .0 = α 檢定兩母體變異數是否相等。 二、設 7 2 1 ,..., , X X X 為抽自具有常態分配 ) ,0 ( 2 σ N 之一組隨機樣本。（每小題10 分，共20 分） ㈠請求出c 值以使 2 7 2 6 2 5 2 4

2 1 /) ( X X X X X X X c + + + + + 具有t 分配。 ㈡請求出d 值以使 ) /( ) ( 2 7 2 6 2 5 2

2 2 2 3 2 1 X X X X X X X d + + + + + 具有F 分配。 三、一盒中置有4 顆大小、形狀、重量完全相同的球，其中有3 顆紅球、1 顆白球。 （每小題10 分，共30 分） ㈠若以不歸還方式由此盒依次隨機抽出3 顆，令Pˆ 表樣本中白球之比率。請求出Pˆ 大 於0.3 之機率，即 ]3.0 ˆ Pr[ > P 。 ㈡若以不歸還方式由此盒依次隨機抽出3 顆，令變數X 代表前2 顆球之紅球顆數， 變數Y 代表最後1 顆球之白球顆數，請求出X 與Y 之共變異數 ) , ( Y X Cov 。 ㈢若以歸還方式由此盒隨機抽出3 顆，令Pˆ 表樣本中白球之比率。請求出Pˆ 之變異數 )ˆ (P Var 。 四、由具有分配為 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ < < = 其他 , 0 3 0 , ) ( 2 9 1 x x x f 之母體抽出一組樣本數為3 之隨機樣本 3 2 1 , , X X X 。令 { } 3 2 1 , , max X X X 及 { } 3 2 1 , , min X X X 分別代表此組隨機樣本中最大和最 小值，令變數 { } { } 3 2 1 3 2 1 , , min , , max X X X X X X R − = 代表全距。（每小題10 分，共30 分） ㈠請求出機率 { } ] 2 , , Pr[min 3 2 1 < X X X 。 ㈡請求出機率 { } { } ] 2 , , max ,1 , , Pr[min 3 2 1 3 2 1 < > X X X X X X 。 ㈢請求出變數R之期望值，即 ) (R E 。

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－ 62 ㈠檢定生產線2 所生產的燈泡壽命之母體標準差是否超過10（千小時）。顯著水準為0.05。 （6 分） ㈡檢定這兩條生產線生產的燈泡壽命之母體平均值是否相等。顯著水準皆為0.1。（14 分） 106年公務人員普通考試試題 全六頁 第二頁 類 科：統計 科 目：統計學概要 三、三因子變異數分析表如下： 變異來源 平方和 自由度 均方 F 值 X1 200 2 A F1 X2 10 1 B F2 X3 48 2 C F3 X1X2（交互作用） 876 D E F4 誤差 F G H 總和 35 （假設資料符合變異數分析的假設，且各因子的水準數和水準值是由實驗者指定。） ㈠請填入表格中A、B、C、D、E、F、G 和H 的數值。（8 分） ㈡寫出判定係數值（coefficient of determination，R2），因子X1 和X2 的水準數及實驗 之反覆數（replicates）（或樣本大小（n）=？）。（12 分） ㈢檢定因子X2、X3 及X1X2 效應是否顯著。顯著水準皆為0.05。（寫出虛無假設和對 立假設，並說明檢定統計量之分配及檢定之結果。）（6 分） ㈣母體標準差之估計值為何？（4 分） 四、隨機抽取六位大學男生修習統計和英語的成績如下： 男學生 1 2 3 4 5 6 統計 57 53 40 77 98 50 英語 60 36 18 84 99 10 ㈠計算統計和英語成績的皮爾遜（Pearson）相關係數（r）。（6 分） ㈡將統計和英語成績由小到大分別排序，並計算思匹爾門（Spearman）等級相關係 數（rsp）。（7 分） ㈢對㈡檢定這兩科目的成績等級是否存在顯著關係。顯著水準α=0.1。（需寫出假設 檢定的虛無假設和對立假設）。（7 分） ㈣說明r 和rsp 使用上的差異。（10 分） （請接第三頁） 106年公務人員普通考試試題 全六頁 第三頁 類 科：統計 科 目：統計學概要 附表 （請接第六頁） （請接第四頁） 106年公務人員普通考試試題 全六頁 第四頁 類 科：統計 科 目：統計學概要 附表 Spearman 等級相關係數的臨界值 t 分配右尾百分點tα(df ) （請接第三頁） （請接第五頁） 106年公務人員普通考試試題 全六頁 第五頁 類 科：統計 科 目：統計學概要 附表 ) ( χ χ 2 2 df α 分配右尾百分點 （請接第六頁） 106年公務人員普通考試試題 全六頁 第六頁 類 科：統計 科 目：統計學概要 附表 標準常態分配值 （請接第三頁）