統計 106 年統計學考古題

行政院主計總處對家戶所得與消費支出之關係，作了一些研究。將所得與消費支出 分別以X 與Y 表示。已知(X , Y)之聯合動差母函數（joint moment generating function） 為 { }

2 2 1 2 1 2 1 2 1 ) , ( 2 5.2 5.0 2 exp ) , ( t t t t t t t t M Y X + + + + = 。 請回答下列問題：（每小題10 分，共40 分） ㈠求出給定消費支出 1 = Y 之下，所得X 之條件機率密度函數。 ㈡求出條件期望值 ) ( Y X E 之變異數 )] ( [ Y X E Var 。 ㈢求出消費支出為1 之下，所得大於2 之條件機率 )1 2 ( = > Y X P 。 ㈣令隨機變數 2)1 ( − = Y Z ，求出Z 之機率密度函數。 二、針對家戶之所得（以X 表示）與消費支出（以Y 表示）之關係，考慮建立下列廻歸模 型： i i i X Y ε β + = 1 , n i , ... ,2 ,1 = ；其中 n ε ε ε ε , ... , , ,

2 1 為相互獨立且具常態分配 ) ,0 ( 2 σ N 之隨機變數。 請回答下列問題：（每小題10 分，共40 分） ㈠求出 1 β 之最小平方估計量 1ˆβ 。 ㈡求出題㈠中， 1ˆβ 之變異數 ) ˆ ( 1 β Var 。 ㈢欲檢定 0 : 1 0 = β H . vs 0 : 1 1 ≠ β H ，已收集下列資料 i X

9 4 16 1 iY 2

2 10 1 請利用收集之資料，以0.05 之顯著水準，檢定上述之假設。 （註：若令 ) (d T 為具有自由度為d 之t 分配的隨機變數，則已知 95 .0 ) 353 .2 )3 ( ( = < T P , 975 .0 ) 182 .3 )3 ( ( = < T P , 95 .0 ) 132 .2 ) 4 ( ( = < T P , 975 .0 ) 776 .2 ) 4 ( ( = < T P ㈣若真實之廻歸模型為 i i i X Y ε β β + + = 1 0 ，請用題㈠之 1ˆβ 去估計真實模型中之 1 β ， 求出其偏誤（bias）。 三、為了降低流行性感冒對民眾造成的傷害和損失，政府從民國106 年10 月1 日起開始 針對特定對象，提供免費流感疫苗接種服務。假設已知臺北市某區之衛生所平均要 等10 分鐘，才會有一位民眾上門接受免費疫苗接種服務。 請回答下列問題：（每小題10 分，共20 分） ㈠求出某日該衛生所從早上8 點整上班到下午5 點整下班都沒有民眾上門接種免費 疫苗之機率。 ㈡令變數S 為該衛生所從早上8 點上班後，直到等到第100 位民眾上門接種免費疫 苗所需等候時間（單位：小時），求出變數S 之變異數Var (S)。