統計 106 年統計學考古題

行政院主計總處對家戶所得與消費支出之關係，作了一些研究。將所得與消費支出 分別以X 與Y 表示。已知(X , Y)之聯合動差母函數（joint moment generating function） 為 { }

隨機變數X 與Y 的聯合機率分配為f（x, y）=ce-y，0 < x < y < ∞。 試求 c 使f（x, y）為一機率分配。（5 分） 分別求 X 與Y 的邊際機率分配。（10 分） 求 Y 給定X = x 的條件變異數。（10 分）

假設兩獨立樣本分別取自兩個常態母體，其母體變異數分別為 和

2 2 1 2 1 2 1 2 1 ) , ( 2 5.2 5.0 2 exp ) , ( t t t t t t t t M Y X + + + + = 。 請回答下列問題：（每小題10 分，共40 分） 求出給定消費支出 1 = Y 之下，所得X 之條件機率密度函數。 求出條件期望值 ) | ( Y X E 之變異數 )] | ( [ Y X E Var 。 求出消費支出為1 之下，所得大於2 之條件機率 )1 | 2 ( = > Y X P 。 令隨機變數 2)1 ( − = Y Z ，求出Z 之機率密度函數。 二、針對家戶之所得（以X 表示）與消費支出（以Y 表示）之關係，考慮建立下列廻歸模 型： i i i X Y ε β + = 1 , n i , ... ,2 ,1 = ；其中 n ε ε ε ε , ... , , ,

甲部門向某DVD 廠商購買10,000 片DVD。甲部門主管決定從這10,000 片DVD 中， 隨機抽取500 片檢查，若其中有10 片（含）以上的瑕疵品，就將整批DVD 退貨。 反之，若該組樣本中的瑕疵品少於10 片，就接受這批DVD。令π代表母體瑕疵率。  試問在H0：π= 0.01 與H1：π> 0.01 之下，上述決策法則的型一誤差是多少？ （10 分） 若瑕疵品的比率是 0.03，試問上述決策法則的型二誤差是多少？（10 分）

2。令 和( 分別為兩組樣本的樣本變異數和樣本大小（sample size）。 2 1 σ σ ) , ( 1 2 1 n S ) , 2 2 2 n S 請分別推導求得兩母體變異數比（ /σ ）與兩母體標準差比（ / ）之100（1 ）% 信賴區間（confidence interval）估計式。為顯著水準（the level of significance）。（14 分） 2 1 σ 2 2 α 1 σ 2 σ α − 分別自兩個不同廠牌的汽水罐裝填機器隨機抽取樣本並測量其汽水罐容量（單位：ml）。 樣本大小分別為（ ，n ），計算得樣本容量變異數分別為（ 2，S 4）。 請分別計算 /σ 與 / 之90%信賴區間估計值。假設汽水容量呈常態分配。（6 分） 15 1 = n 1 σ 2 σ 17 2 = = 2 1S = 2 2 2 1 σ 2 2 二、令隨機變數X 和Y 為獨立的卜瓦松分配（Poisson distribution），其參數各為 和 。 令Z=X+Y。（每小題10 分，共20 分） 1λ 2λ 推導求得隨機變數Z 的機率分配（probability distribution）。 若 =3 和 =5，試求隨機變數Z 之變異數（variance）與Z<3 的機率（P(Z<3)=？）。 1λ 2λ

2 1 為相互獨立且具常態分配 ) ,0 ( 2 σ N 之隨機變數。 請回答下列問題：（每小題10 分，共40 分） 求出 1 β 之最小平方估計量 1ˆβ 。 求出題中， 1ˆβ 之變異數 ) ˆ ( 1 β Var 。 欲檢定 0 : 1 0 = β H . vs 0 : 1 1 ≠ β H ，已收集下列資料 i X

某大學的甲、乙、丙、丁四個系所，去年的申請人數與錄取率詳如下表： 系所 男同學 女同學 申請人數 錄取率 申請人數 錄取率 甲 825 62% 108 82% 乙 560 63% 25 68% 丙 417 33% 375 35% 丁 373 6% 341 7%  計算女同學在這四個系所的整體錄取率。（3 分）  計算男同學在這四個系所的整體錄取率。（3 分）  試問不同性別的學生，在各別系所錄取率的表現孰優孰劣？（2 分） 試問不同性別的學 在整體錄取率的表現孰優孰劣？（2 分） 試問題與題之 請說明原因。（10 分） 106年公務、關務人員升官等考試、106年交通 事業鐵路、公路、港務人員升資考試試題 代號：21450 22150 全四頁 第二頁 等 級 ：薦任 類科（別） ：統計、經建行政 科 目 ：統計學

假設隨機變數Xj，j=1, 2, 3, 4，為互相獨立的同分配，期望值為μ，且變異數為σ2。 令Y 。 2 2 ) ( ) ( X X Y X X − = − = ， 3

9 4 16 1 iY 2

營運組辦公室的茶包有烏龍、菊花與普洱三種口味，組長想分析組員們對這三種口 味的喜好程度是否相同。過去四週這三種口味的茶包消耗量如下： 烏龍 菊花 普洱 20 31 12 19 41 16 24 32 11 21 36 13 在顯著水準0.05 下，進行統計檢定。（10 分）

2 1 2 1 推導求得Yi 之期望值（E(Yi)），i=1, 2。（10 分） 若Y 則令Ii=1；否則Ii=0。令M ，推導求得M 之分配。（5 分） ) E( i i Y > ∑ = = 2 1 i iI 若Xj為常態分配，推導求得Y 之機率（列出計算的過程即可，不必寫出機率值）。（10分） ) E( i i Y > 四、一 個完全隨機設計之二因子實驗之因子、因子水準和8 個反應值如表所示： X1 X2 反應值（y） -1 -1 20 30 -1 1 40 50 1 -1 50 60 1 1 12 16 8 個實驗之實驗順序如何決定？（3 分） 寫出變異數分析的固定效應模式（fixed effects model）（須考慮因子之交互作用） 及其假設。假設因子是固定的（fixed factors）。（10 分） 列出變異數分析表並檢定X1、X2 和X1X2（交互作用）之效應是否顯著。顯著水 準皆為0.05。（寫出虛無假設和對立假設，並說明檢定統計量之分配。）（10 分） 請依之檢定結果，寫出此因子實驗之配適後迴歸模型或反應曲面（response surface）。假設− 。（12 分） 1 2 , X 1 X 1 ≤ ≤ （請接第二頁） 106年公務人員高等考試三級考試試題 全三頁 第二頁 類 科：統計 科 目：統計學 （請接背面） 附表 f(F) A 0 F FA （請接第三頁） 106年公務人員高等考試三級考試試題 全三頁 第三頁 類 科：統計 科 目：統計學 （請接背面） 附表 ) ( 2 2 df χ χ α 分配右尾百分點

2 10 1 請利用收集之資料，以0.05 之顯著水準，檢定上述之假設。 （註：若令 ) (d T 為具有自由度為d 之t 分配的隨機變數，則已知 95 .0 ) 353 .2 )3 ( ( = < T P , 975 .0 ) 182 .3 )3 ( ( = < T P , 95 .0 ) 132 .2 ) 4 ( ( = < T P , 975 .0 ) 776 .2 ) 4 ( ( = < T P 若真實之廻歸模型為 i i i X Y ε β β + + = 1 0 ，請用題之 1ˆβ 去估計真實模型中之 1 β ， 求出其偏誤（bias）。 三、為了降低流行性感冒對民眾造成的傷害和損失，政府從民國106 年10 月1 日起開始 針對特定對象，提供免費流感疫苗接種服務。假設已知臺北市某區之衛生所平均要 等10 分鐘，才會有一位民眾上門接受免費疫苗接種服務。 請回答下列問題：（每小題10 分，共20 分） 求出某日該衛生所從早上8 點整上班到下午5 點整下班都沒有民眾上門接種免費 疫苗之機率。 令變數S 為該衛生所從早上8 點上班後，直到等到第100 位民眾上門接種免費疫 苗所需等候時間（單位：小時），求出變數S 之變異數Var (S)。

某網路商家過去8 年之年營業額（萬元）如下表： t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 t = 5 t = 6 t = 7 t = 8 36 40 42 45 46 49 54 56  試求營業額與時間之相關係數。（5 分）  令 代表時間t 的營業額。試用上表資料建構簡單迴歸模型 ，其中 滿足迴歸模型之基本假設。（10 分） Durbin -Watson 統計量可以用來檢定迴歸模型的那個基本假設？（5 分）  試估計模型中 的值。（5 分） （請接第三頁） 106年公務、關務人員升官等考試、106年交通 事業鐵路、公路、港務人員升資考試試題 代號：21450 22150 全四頁 第三頁 等 級 ：薦任 類科（別） ：統計、經建行政 科 目 ：統計學 附表一 （請接第四頁） 106年公務、關務人員升官等考試、106年交通 事業鐵路、公路、港務人員升資考試試題 代號：21450 22150 全四頁 第四頁 等 級 ：薦任 類科（別） ：統計、經建行政 科 目 ：統計學 附表二