統計 112 年統計學考古題

設 1 X 、

給定以下資料集（N=13）： 資料：[60, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 120, 45, 50, 55, 115, 40] 請分別計算出3 個四分位數Q1、Q2 和Q3 及內4 分位距（Inter- Quartile Range, IQR）。（20 分） 請問該組資料有沒有離群值？請說明判斷理由。（10 分）

若隨機變數ܻ|ܺ= ݔ∼ܷ(0, ݔ)且ܺ∼ܷ(0,1)，其中ܷ代表連續均勻分配。 試求： (ܺ, ܻ)的聯合密度函數݂௑௒(ݔ, ݕ)。（5分） ܻ的機率密度函數݂௒(ݕ)。（5分） ܧ(ܻ)、ܸܽݎ(ܻ)、ܧ(ܻܺ)、ܥ݋ݒ(ܺ, ܻ)、ߩ௑௒。（15分）

X 、

若已知下圖中兩分配機率密度函数（probability density function, PDF）， 其一為T 分配（自由度3），另一為標準常態Z 分配，則虛線應該是那一 個分配？請說明理由。（10 分）

已知變異數是25，平均數ߤ未知之常態分配中取出樣本大小為݊之隨機樣 本ܺଵ, ܺଶ, ⋯, ܺ௡，在顯著水準α=0.05下，檢定假設ܪ଴：μ=30 vs. ܪଵ：μ<30。 若希望μ=26.7時之檢定力達0.975，則需要多少樣本數？（25分）

X 為互相獨立的標準常態隨機變數。令 1 1 2 ( ) / 2 Y X X   ， 2 1 2 3 ( 2 ) / 6 Y X X X    與 3 1 2 3 ( ) / 3 Y X X X    。試求：  1Y 、 2Y 、 3Y 是否分別具有相同的機率密度函數，須完整求出各自的機 率密度函數。（15 分） 求 1Y 、 2Y 和 3Y 之聯合分配函數。（10 分） 二、令 1, , n X X  為抽取自 ( ; ) x f x e      ， 0 x 之隨機樣本。求下列參數的齊 一最小變異不偏估計（Uniformly Min. Variance Unbiased Estimator）： 。（10 分） 1 。（15 分） 三、某公司須從三種退休計畫方案選擇一種方案。該公司想研究的問題為：喜 愛那一種方案的員工與其工作性質有無關係？經調查得結果如下表所列， 令 ij p 為第i 種方案受第j 類員工喜愛的母體比例， 1, 2, 3 i  ， 1, 2, 3, 4 j  。 觀察個數 方案1 方案2 方案3 總和 第1 類員工 160 30 10 200 第2 類員工 140 40 20 200 第3 類員工 80 10 10 100 第4 類員工 70 20 10 100 合 計 450 100 50 600 試以 ij p 陳述虛無與對立假設（ 0 H 和 1 H ）。（8 分） 試執行本題的檢定（含檢定統計量、棄卻域及結論），令顯著水準 0.05  。（17 分） 2 0.05, 8 15.51   、 2 0.05, 6 12.5916   、 2 0.05, 4 9.4877   2 0.025, 8 17.5346   、 2 0.025, 6 14.4494   、 2 0.025, 4 11.1433  

統計學是一個處理資料的科學，有老師因考量學生成績太低將成績開根 號後再乘以10，今假設學生原始成績為X，介於0 到100 均勻分配的隨 機變數，令Y=10 X 為調整後的成績，試問：（每小題15 分，共30 分） 相較於原始平均成績，調整後的平均成績會產生何種變化？ 調整後的成績Y，其變異數為何？

欲比較三種不同的植物荷爾蒙（A、B、C）對癒傷組織新芽分化的影響。 每種植物荷爾蒙均重複五次實驗，分別測量所誘導出的新芽長度（cm）， 得到資料如下： 荷爾蒙 A B C 1.7 0.4 1.1 1.6 0.5 1.0 1.5 0.3 0.7 1.9 0.2 0.8 1.2 0.3 0.5 試列出變異數分析（ANOVA）表及詳細計算過程。（10分） 試問3種植物荷爾蒙對誘導出的新芽長度的效果是否相等（α=0.05）？ 請詳細寫出a.虛無與對立假設、b.檢定統計量公式、c.拒絕域、d.檢定值 之計算過程、e.檢定結果與結論。（10分） 資料需符合那3個假設？（5分）

一家消費者雜誌想要比較三個不同品牌的手電筒電池的壽命。該雜誌對 三個不同品牌的電池抽取獨立隨機樣本，得出以下使用壽命（以小時為 單位）。 Brand A Brand B Brand C 38 32 24 36 27 25 31 28 29 42 26 29 檢定此三個品牌的手電筒電池的平均壽命是否有差異？須列出虛無 與對立假設、建構變方分析表（ANOVA table）、棄卻域和結論。（令顯 著水準 0.05  ）（10 分） 0.05,3,9 3.8625 f  、 0.05,3,10 3.7083 f  、 0.05,3,11 3.5874 f  0.05,2,9 4.2565 f  、 0.05,2,10 4.1028 f  、 0.05,2,11 3.9823 f  試以顯著水準 0.05  ，執行Tukey 的多重全距檢定（Tukey’s multiple range test），比較三個不同品牌的手電筒電池的平均壽命。須列出Tukey 多重全距檢定的信賴區間公式，計算三對平均差之Tukey 全距信賴區 間，最後做結論。（15 分） 0.05,2,12 3.08 q  、 0.05,2,11 3.11 q  、 0.05,2,10 3.15 q  、 0.05,2,9 3.20 q  0.05,3,12 3.77 q  、 0.05,3,11 3.82 q  、 0.05,3,10 3.88 q  、 0.05,3,9 3.95 q 

某廠商要設計一款內含10 顆編號1 到10 的搖球機，希望每顆球被搖出 來的機率是一樣的，工程師為了測試設計出來的搖球機滿足上述的需 求，故獨立連續搖出100 顆球，並記錄搖出的號碼及其對應搖出的次數 如下： 編號 1 2 3 4

某電子公司想瞭解某電子組件之壽命，於是隨機取出樣本大小為n=10的 隨機樣本ܺ1,ܺ2,⋯,ܺ10，其中ܺ݅表示每個電子組件之壽命。若得到的樣本 數據為9，3，5，7，2，3，1，4，8，4（單位：10,000小時），請使用符號 檢定方法，以α=0.05來檢定電子組件之壽命的中位數是否有顯著超過2.5 萬小時？（25分） 附表一 -3 -2 -1 0 1 z 2 3 -3 -2 -1 0 1 zα 2 3 N(0, 1) α P(Z≤z)=∅(z)= 2 /2 1 2 z w e dw    [ ( ) 1 ( )] z z     z Zα Zα/2 α ∅(z) 表二 附表二：F0.05(v1, v2)值表

9 10 次數 11 9 8 9 11 7 10 12 9 14 試以顯著水準 0.05  檢定每個號碼出現的機率是否一樣？（請詳列 問題的虛無假設、對立假設、檢定統計量、臨界值和結論）（20 分） 請問檢定統計量對應的p 值大約是多少？（10 分） 表 2 分配右尾切點（cut-off points）