統計 108 年統計學考古題

新北市捷運環狀線部分路段預定在2019 年年底完工通車，目前已進 入測試階段。已知新北市捷運電聯車的液壓式摩擦煞車系統的失效時 間是服從具有自由度為2 的卡方分配。今由工程師隨機抽樣測試該系 統，得到一組樣本數為二之失效時間的隨機樣本，分別以 1Y 與 2Y 表示。 （每小題10 分，共40 分） 令變數

為了避免斷橋事件再次發生，針對各單位在未來進行橋梁的施工和檢 測，交通部作了許多檢討，其中針對橋梁鋼索的壽命，交通部制定了一 些新規定。已知某鋼索製造商生產之鋼索壽命服從具有平均數50 年的 指數分配。今由該製造商之生產線隨機抽出一組樣本數為二之隨機樣 本，分別以X1 與X2 表示。令隨機變數 { }

假設X 和Z 為獨立的隨機變數，其X 的機率密度函數（probability density function (pdf)）為 x e x f

1 Y Y D − = ，求出變數D之機率密度函數 ) (d f 。 令變數 2 1 Y Y S + = ，求出變數S 之變異數 ) (S Var 。 令變數R 為全距，求出變數R之機率密度函數 ) (r f 。 令變數 } { 2 1, min Y Y U = 及 } { 2 1, max Y Y V = ，求出機率 ) 10 ,6 ( > < V U P 。 二、某經濟學者長期研究國內農民的家戶所得，發現國內的農家所得是服 從平均數為µ ，變異數為 2 σ 之常態分配。針對評估農家所得分配是否 不平均的狀況，此經濟學者提出了以所得分配的第90 百分位數和第 10 百分位數的差（以θ 表示），做為評估農家所得分配是否不平均的 評估指標。今由全臺灣農家隨機抽取n 筆家戶所得的資料，得到隨機樣 本 n X X X ..., , , 2 1 。令 ) (x F 為農家所得分配之累積分配函數（cumulative distribution function）。（每小題10 分，共30 分） 假設µ 和 2 σ 皆未知，求出上述評估指標θ 之最小變異不偏估計量 （uniformly minimum variance unbiased estimator），θˆ。 假設 2 σ 已知但µ 未知，求出上述累積分配函數 ) (x F 之不偏估計量的變 異數的Cram’er-Rao 下限（Cram’er-Rao lower bound）。 假設 2 σ 已知但µ 未知，求出上述 ) (x F 之信賴水準為 )% 1( 100 α − 的信賴區間。

1, min X X S = 及 { } 2 1, max X X T = 分別代表此組樣本中之最小值及最大值。 求出變數S 與T 之聯合累積分配函數（joint cumulative distribution function），F(s, t)。（10 分） 求出變數S 與T 之共變異數 ) , ( T S Cov 。（10 分） 求出機率 ) 100 , 50 ( > > T S P 。（10 分） 二、中美貿易戰開打後，造成各國間匯率跟著波動。某經濟學家長期研 究新臺幣兌美元的匯率（以X 表示）、兌人民幣的匯率（以Y 表示）、 兌泰銖的匯率（以Z 表示），發現三者間有密切的關係。經濟學家發 現(X, Y, Z)具有三元常態分配，且其平均數分別為 30 ) ( = X E 、 4 ) ( = Y E 、 1 ) ( = Z E ，變異數分別為 1 ) ( = X V ， 4 ) ( = Y V ， 9 ) ( = Z V ，共變異數分別 為 1 ) , ( − = Y X Cov ， 0 ) , ( = Z X Cov ， 1 ) , ( = Z Y Cov 求出給定 8 = Y 之下，(X, Z)之條件機率密度函數。（10 分） 令變數 2 2 )1 ( ) 30 ( 9 − − = Z X W ，求出變數W 之分配。（10 分） 求出條件期望值的變異數 ( )] | [ Y X E V 及條件變異數的期望值 ( )] | [ Y X V E 。（10 分） 令變數 Z Y X U − + =

x 2 ) ( − = ， 0 ≥ x ，Z 的pdf 為 z e z f

同時丟擲三個均勻的骰子（均勻的骰子，指骰子出現每一點的機率均 等）5 次，令變數T 代表5 次丟擲中三個骰子出現的點數皆不同的次 數，且令變數W 代表5 次丟擲中三個骰子出現的點數皆相同的次數。 （每小題10 分，共30 分） 求出變數T 與W 之聯合機率密度函數 ) , ( w t f 。 求出給定 t T = 之下，W 之條件機率密度函數 ) ( t w f 。 求出條件變異數的期望值 ]) ( [ T W V E 。

2 ， Z Y X V + − = 2 ，求出給定 23 = V 之下，U 之 條件機率分配。（10 分） 三、除了少子化的危機之外，臺灣多年來一直存在「出生性別比」較正常值 略高的疑慮。某社會學學者為了瞭解臺灣是否有重男輕女的狀況，隨機 抽樣觀察n 個新生兒的性別。令變數Bi 代表第i 個新生兒為男孩的個數， θ 代表新生兒為男孩的機率，則B1, B2, …, Bn 為一組具有白努利分配 （Bernoulli distribution）的隨機樣本。 求出變數Bi 的變異數Var(Bi)之最小變異不偏估計量（uniformly minimum variance unbiased estimator）。（10 分） 求出上述Var(Bi) 之不偏估計量的變異數的Cram’er-Rao 下限 （Cram’er-Rao lower bound）。（10 分） 求出勝算（odds ） θ θ − 1 之最大概似估計量（maximum likelihood estimator）。（10 分）

z 3 ) ( − = ， 0 ≥ z 。 設Y=minimum(X, Z)（即X 和Z 的最小值）， V(Y) 2 E(Y) U + = 且 V(Y) 2 E(Y) L − = ，其中E(Y)為Y 的期望值，V(Y)為Y 的變異數。 請推導出Y 的pdf。（7 分） 若L<Y<U 則判為正常；否則為異常。試計算正常的機率（即 P(L<Y<U)）。（5 分） 承子題，若自Y 的分配隨機抽取樣本大小為5 的一個樣本組。試 問有3 個正常和2 個異常的機率。（8 分） 二、假設(X, Y)的聯合機率密度函數（joint probability density function (joint pdf)）為 , d 5.0 ) , ( xy y x f = .1 ,1 , 0 ≤ + ≤ ≤ y x y x 計算d 值。（5 分） 推導求得X 的邊際機率密度函數（Marginal pdf of X）和計算機率 ) 25 .0 X ( P ≤ 。(10 分) 計算3X 的期望值（E(3X)）。（5 分） 計算5+2XY 的期望值（E(5+2XY)）。（5 分） 三、下列數值為用簡單隨機抽樣法抽取的A 公司32 位銷售人員在2010 年的汽車銷售數量： 15 20 25 25 30 35 35 35 40 40 40 45 45 45 45 50 50 50 50 55 55 55 55 60 60 60 60 65 65 65 70 70 請檢定A 公司所有銷售人員在2010 年的銷售數量是否為常態分配？ 顯著水準為0.1。（檢定時請將常態分配下的銷售數量分成4 個區間， 使得每個區間的次數為8，寫出⑴虛無假設（H0）和對立假設（H1）， ⑵檢定統計量在H0為真下的分配和自由度，及⑶分別以p 值（p value） 和拒絕區的臨界值說明檢定結果）（25 分）

牙醫師想知道假牙材質供應商提供的3 種不同品牌材質（A、B、C） 是否影響假牙的使用壽命，經由統計實驗設計方法收集的各品牌下病 人假牙的使用壽命數據如下： 品牌 壽命（單位：年） A 8 8 8 9 9 B 10 12 11 12 10 C 7 8 7 6 7 假設參與實驗的15 位病人是隨機抽取自每個人的體質、習慣和牙齒 完全無差異的母體（即假設實驗單位是一致的）。 請說明這些壽命數據（觀測值）是使用何種統計實驗設計方法收集 的，並說明實驗如何執行？（6 分） 欲檢定品牌材質是否影響假牙的使用壽命，請寫出子題觀測值的 效應模式（effects model）及假設條件。（6 分） 請依據子題，寫出檢定的虛無假設（H0）和對立假設（H1），寫 出檢定統計量在H0 為真下的分配和自由度，並列出變異數分析表 以說明檢定結果。顯著水準為0.05。（10 分） 請依據子題的檢定結果，以Fisher’s Least Significant Difference （LSD）方法兩兩檢定品牌下的平均壽命是否相等，並決定出那種 品牌材質的使用壽命最長。顯著水準為0.05。（寫出檢定的虛無假 設（H0）和對立假設（H1），檢定統計量在H0 為真下的分配和自 由度，並說明檢定結果）（8 分） 表一 附表：Z 值表 N(0, 1) Φ(z) Zα Zα/2 N(0, 1) 表二 附表：t 值表 The table gives the values of tα; v where Pr(Tv> tα; v) =α, with v degrees of freedom tα; v 表三 附表：卡方分配臨界值表 表四 附表：F0.05(v1, v2)值表