統計 108 年統計學考古題

新北市捷運環狀線部分路段預定在2019 年年底完工通車，目前已進 入測試階段。已知新北市捷運電聯車的液壓式摩擦煞車系統的失效時 間是服從具有自由度為2 的卡方分配。今由工程師隨機抽樣測試該系 統，得到一組樣本數為二之失效時間的隨機樣本，分別以 1Y 與 2Y 表示。 （每小題10 分，共40 分） ㈠令變數

1 Y Y D − = ，求出變數D之機率密度函數 ) (d f 。 ㈡令變數 2 1 Y Y S + = ，求出變數S 之變異數 ) (S Var 。 ㈢令變數R 為全距，求出變數R之機率密度函數 ) (r f 。 ㈣令變數 } { 2 1, min Y Y U = 及 } { 2 1, max Y Y V = ，求出機率 ) 10 ,6 ( > < V U P 。 二、某經濟學者長期研究國內農民的家戶所得，發現國內的農家所得是服 從平均數為µ ，變異數為 2 σ 之常態分配。針對評估農家所得分配是否 不平均的狀況，此經濟學者提出了以所得分配的第90 百分位數和第 10 百分位數的差（以θ 表示），做為評估農家所得分配是否不平均的 評估指標。今由全臺灣農家隨機抽取n 筆家戶所得的資料，得到隨機樣 本 n X X X ..., , , 2 1 。令 ) (x F 為農家所得分配之累積分配函數（cumulative distribution function）。（每小題10 分，共30 分） ㈠假設µ 和 2 σ 皆未知，求出上述評估指標θ 之最小變異不偏估計量 （uniformly minimum variance unbiased estimator），θˆ。 ㈡假設 2 σ 已知但µ 未知，求出上述累積分配函數 ) (x F 之不偏估計量的變 異數的Cram’er-Rao 下限（Cram’er-Rao lower bound）。 ㈢假設 2 σ 已知但µ 未知，求出上述 ) (x F 之信賴水準為 )% 1( 100 α − 的信賴區間。

同時丟擲三個均勻的骰子（均勻的骰子，指骰子出現每一點的機率均 等）5 次，令變數T 代表5 次丟擲中三個骰子出現的點數皆不同的次 數，且令變數W 代表5 次丟擲中三個骰子出現的點數皆相同的次數。 （每小題10 分，共30 分） ㈠求出變數T 與W 之聯合機率密度函數 ) , ( w t f 。 ㈡求出給定 t T = 之下，W 之條件機率密度函數 ) ( t w f 。 ㈢求出條件變異數的期望值 ]) ( [ T W V E 。

牙醫師想知道假牙材質供應商提供的3 種不同品牌材質（A、B、C） 是否影響假牙的使用壽命，經由統計實驗設計方法收集的各品牌下病 人假牙的使用壽命數據如下： 品牌 壽命（單位：年） A 8 8 8 9 9 B 10 12 11 12 10 C 7 8 7 6 7 假設參與實驗的15 位病人是隨機抽取自每個人的體質、習慣和牙齒 完全無差異的母體（即假設實驗單位是一致的）。 ㈠請說明這些壽命數據（觀測值）是使用何種統計實驗設計方法收集 的，並說明實驗如何執行？（6 分） ㈡欲檢定品牌材質是否影響假牙的使用壽命，請寫出子題㈠觀測值的 效應模式（effects model）及假設條件。（6 分） ㈢請依據子題㈡，寫出檢定的虛無假設（H0）和對立假設（H1），寫 出檢定統計量在H0 為真下的分配和自由度，並列出變異數分析表 以說明檢定結果。顯著水準為0.05。（10 分） ㈣請依據子題㈢的檢定結果，以Fisher’s Least Significant Difference （LSD）方法兩兩檢定品牌下的平均壽命是否相等，並決定出那種 品牌材質的使用壽命最長。顯著水準為0.05。（寫出檢定的虛無假 設（H0）和對立假設（H1），檢定統計量在H0 為真下的分配和自 由度，並說明檢定結果）（8 分） 表一 附表：Z 值表 N(0, 1) Φ(z) Zα Zα/2 N(0, 1) 表二 附表：t 值表 The table gives the values of tα; v where Pr(Tv> tα; v) =α, with v degrees of freedom tα; v 表三 附表：卡方分配臨界值表 表四 附表：F0.05(v1, v2)值表