統計 107 年統計學考古題

兩隨機變數X, Y 的聯合機率密度函數為f (x, y) = ax2y, 0 < x < y < 1。 請算出a 使得f (x, y)符合聯合機率密度函數的要求。（9 分） 請分別算出X, Y 的邊際機率密度函數（marginal probability density function）fX (x), fY (y)，及條件機率密度函數（conditional probability density function） ) | ( ), | ( | | x y f y x f X Y Y X 。（16 分）

令Z1, Z2,…,Z n 為標準常態分配的隨機樣本，說明隨機變數W 的機率分配（不需 證明）。（9 分） 1.W=

假設X1, X2,…, Xn 為幾何分配的Geo（p）隨機樣本。 求p 的最大概似估計（Maximum likelihood estimator），pˆ 。（10 分） 令 p 1 = θ ，統計量pˆ 1 是否為θ 的充分統計量？是否為θ 的最小變異不偏 估計量（minimum variance unbiased estimator）？（15 分）

5 2 4 2

某校今年派出9 名代表參加科學知識競賽，得分及敘述性統計如下： 73 81 74 87 90 89 65 79 88 樣本平均數= 80.67，樣本標準差= 8.6747，去年的平均成績為75.5。 欲比較今年的代表隊成績是否比去年好，在5%顯著水準下，考慮兩種 方法檢定今年成績是否有顯著進步。檢定結果應包括檢定假說、檢定統 計量、臨界值以及檢定結果的詮釋。 假設成績服從常態分配，請完成今年平均成績是否有顯著性進步的檢 定。（10 分） 假設成績不服從常態分配但大致上對稱，請以符號檢定（sign test）及 符號等級檢定（signed rank test），分別完成今年的成績中位數是否有 顯著性進步的檢定。（20 分）

2 2 2 1 Z Z Z Z Z + + + + 2.W= 5 / / 5 X Z ，其中 2 5 2

欲比較4 種環保材質吸管的瑕疵率，研究部門以單因子（one-way）隨機 實驗各進行5 次檢測，實驗結果的敘述性統計如下： Treat i 1 2 3 4 平均數（ݕത௜.） 15.6 13.8 7.2 11.4 144 2 .. = y 、∑ = = 4 1 2 . 6. 615 i iy 、∑ = =

2 3 2 2 2 1 Z Z Z Z Z X + + + + = 3.W=

1 2 . 5. 757 j j y 、∑∑ = = = 4 1 5 1 2 320 ,3 i j ijy ，其中yij 為第i 種材質在第j 次實驗的瑕疵率檢測值， ∑ = = 5 1 . 5 / j ij i y y 、 ∑ = = 4 1 . 4 / i ij j y y 、 ∑∑ = = = 4 1 5 1 .. 20 / i j ijy y 請完成變異數分析（ANOVA）表，以適當的符號定義參數，寫出檢 定4 種材質瑕疵率有差異的假說，並在5%顯著水準下提出你的檢定 結論。（10 分） 假設第1 種環保材質是市面上常用的材質，其他3 種是新材質，請寫 出常用材質與新材質的平均瑕疵率是否有差異， ) ( 3 1 4 3 2 1 μ μ μ μ + + = ， 的對比假說，並在5%顯著水準下提出你的檢定結論。（10 分） 附表

/ 2 / X Y ，其中 ， 2 9 2 8 Z Z Y + = 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 Z Z Z Z Z X + + + + = 令Z=Y+X，Y 為卡方分配自由度ν1分配、Z 為卡方分配自由度ν3分配，且Y 與X 相 互獨立，以動差生成函數（moment generating function）推論X 的機率分配。（9 分） 二、 某製造公司設計一項試驗，以決定生產所需原料是以人工或自動方式裝填是否存在 差異，以及兩台機器所生產之瑕疵品數目是否會影響瑕疵品數量。下表為生產的瑕疵 品數量，已計算得知總平方和SST=151.5。在顯著水準α＝5%下（右尾：Ｆ0.05(1,4)=7.71、 Ｆ0.05(1,5)=6.61、Ｆ0.05(1,6)=5.99）： 裝填方式 人工 自動 機器1 30 30 34 26 機器2 20 24 22 28 檢定機器、裝填方式及他們的交互作用是否存在顯著效果？（15 分） 設若在此試驗設計中，兩台機器是設定為集區變數（Block），則裝填方式是否仍存 在顯著效果？（10 分） 三、一隨機變數Ｙ=-2logX，其中隨機變數X 具有混合型的機率密度函數如下： f (x)=0.8 0<x<1，f (x)=0.2 x=1 求隨機變數Ｙ的機率密度函數，並計算Ｙ的中位數。（10 分） 求隨機變數Ｙ的動差生成函數，並計算Ｙ的平均數。（15 分） 四、設 為一組隨機樣本服從母體X 具機率密度函數 n X X X , , , 2 1 K x θe θ x f θ − = ) ; ( ，x >0。 證明 是參數θ 的一個充分統計量。（10 分） ∑ = = n i i X T 1 試求參數θ 的最大概似估計量MLE（Maximum Likelihood Estimator）。（10 分） 若要檢定Ｈ0：θ =1 對應Ｈ1：θ =2，依據Neyman-Pearson Lemma，試求檢定統計 量及其顯著水準α。（12 分）