統計 107 年迴歸分析考古題

（請接第二頁） 107年公務人員高等考試三級考試試題 全五頁 第二頁 類 科： 統計 科 目： 迴歸分析 兩兩變數間的散布圖如下： Y X1 X2 X3 X4 （請接第三頁） 107年公務人員高等考試三級考試試題 全五頁 第三頁 類 科： 統計 科 目： 迴歸分析 下列為六個不同迴歸模型的估計結果： 估計值標準誤 截距項 5.7314 1.3622 ܺଶ 0.0605 0.0323 估計值標準誤 截距項12.5929 1.4054 ܺଷ -0.0552 0.0171 估計值標準誤 截距項11.3715 2.6355 ܺଶ 0.0185 0.0335 ܺଷ -0.0493 0.0205 估計值標準誤 截距項-36.3909 11.7069 ܺଵ 0.7256 0.2009 ܺଶ 0.0617 0.0247 估計值標準誤 截距項-25.9329 14.1083 ܺଵ 0.5948 0.2221 ܺଶ 0.0402 0.0296 ܺଷ -0.0251 0.0196 估計值標準誤 截距項-24.9931 15.3071 ܺଵ 0.5811 0.2394 ܺଶ 0.0472 0.0463 ܺଷ -0.0256 0.0205 ܺସ -0.2671 1.3228 （請接第四頁） 107年公務人員高等考試三級考試試題 全五頁 第四頁 類 科： 統計 科 目： 迴歸分析 下表為配適線性迴歸模型，不同 所得之模 選取準則的 。 變數 ܵܵܧ௣ 型 ܴ௣ ଶ 結果 ܴ௔,௣ ଶ 模型 模型中的變數 p ܥ௣ A ܺଵ

17 4.4513 3.5915 43 4.0670 3.2145 44 4.0617 3.2093 87 3.9506 3.1013 88 3.9493 3.1001 一、何謂多重共線性（multicollinearity）？多重共線性對估計結果有何 影響？如何偵測複迴歸模型中存在多重共線性？請詳述所需要的 判斷準則。（12 分） 一位分析師進行迴歸分析資料並配適複迴歸模型如(1)。 100 , ,1 , 7 7 1 1 0 " " = + + + + = i X X Y i i i i ε β β β (1) 所獲得初步結果如圖1。請用圖1 部分統計電腦套裝軟體輸出結 果，說明這位分析師所配適的模型是否合適？如果模型(1)不合 適，請說明原因並提供所有可以解決問題的方法。（10 分） 圖1 二、醫院分析師希望研究患者滿意度（Y）與患者年齡（X1，以年為單位）， 疾病嚴重程度指數（X2）以及焦慮指數（X3）之間的關係。分析師隨 機選擇了46 名患者並收集了數據。請使用圖2 部分統計電腦套裝軟 體輸出結果來回答以下問題。 圖 2 請計算額外平方和（extra sum of squares） = ) , | (

34.310 0.365 0.328 6.625 B ܺଶ 2 44.836 0.171 0.122 13.260 C ܺଷ 2 33.557 0.379 0.343 6.150 D ܺସ 2 50.735 0.062 0.006 16.977 E ܺଵ、ܺଶ

1 2 X X X SSR ？（4 分） 假設這位分析師採用模型是 i i i i X X Y ε β β β + + + = 3 3 1 1 0 (2) 該分析師想知道在模型(2)之下，增加疾病嚴重程度指數（X2）此額 外變數，解釋其在顯著水準α=5%下是否有顯著的貢獻，並敘述對 立假設、檢定統計量之值、決策法則和結論。（8 分） 假設這位分析師採用模型是 i i i i i X X X Y ε β β β β + + + + = 3 3 2 2 1 1 0 (3) 請檢定疾病嚴重程度指數（X2）和焦慮指數（X3）兩個解釋變數是 否可以從模型(3)中刪除，也就是在已經有患者年齡（X1）解釋變數 之下，解釋變數X2 和X3 可否從模型中移除？請在顯著水準α=5% 檢定，並協助敘述對立假設、檢定統計量之值、決策法則和結論。 在本小題的檢定問題中，請試述需要作何假設，才能執行這些統計 檢定。（10 分） 三、一位分析師考慮對三組數據配適一個簡單迴歸模型 i i i X Y ε β β + + = 1 0 ，其中 0 β 、 1 β 為參數，ε 為隨機誤差，且假設其為 具均數0，標準差σ 之常態分配。 配適模型後，三組數據之殘差分析圖分別為3(a)、3(b)、3(c)，請 分別說明配適迴歸模型是否恰當？若模型不合適或偏離模型假設 時，請指出不恰當之處並請提出修正的方法。（21 分） 在何種情況下，需要採用加權最小平方法（Weighted least squares） 估計未知的參數？請協助提供散佈圖和殘差圖說明。（7 分） 圖3(a) 標準化殘差時間序列圖（Standardized residuals vs. time） 圖3(b) 標準化殘差對預測值圖（Standardized residuals vs. ݕො௜） 圖3(c) 標準化殘差對預測值圖（Standardized residuals vs. ݕො௜）

24.695 0.543 0.486 2.565 F ܺଵ、ܺଷ 3 25.019 0.537 0.479 2.769 G ܺଵ、ܺସ 3 27.841 0.485 0.421 4.548 H ܺଶ、ܺଷ 3 32.928 0.391 0.315 7.754 I ܺଶ、ܺସ 3 43.507 0.195 0.095 14.422 J ܺଷ、ܺସ 3 33.540 0.380 0.302 8.139 K ܺଵ、ܺଶ、ܺଷ

一位資料分析師受託分析一組數據，想要了解一個特定基因，稱之 GT 基因，是否有影響老鼠斷奶時的重量。該分析師預計配適模型1 和模型2。 Y=斷奶時的重量（公克為單位） X1=年齡（以日為單位） X2=品種（品種A=1，B=0） X3=GT 基因（有此基因=1，無此基因=0） X4=性別（公老鼠=1，母老鼠=0） 模型1： , 4 4 3 3 2 2 1 1 0 i i i i i i X X X X Y ε β β β β β + + + + + = 模型2： , 2 1

22.277 0.588 0.506 3.041 L ܺଵ、ܺଶ、ܺସ 4 24.694 0.543 0.452 4.564 M ܺଵ、ܺଷ、ܺସ 4 23.862 0.559 0.470 4.040 N ܺଶ、ܺଷ、ܺସ 4 31.562 0.416 0.300 8.893 O ܺଵ、ܺଶ、ܺଷ、ܺସ

4 4 3 3 2 2 1 1 0 i i i i i i i i X X X X X X Y ε β β β β β β + + + + + + = 請使用圖4 和圖5 中部分統計電腦套裝軟體輸出變異數分析 （ANOVA, Analysis of Variance）回答下列問題： 請計算模型1 和模型2 的調整的複判定係數R2（the adjusted R-squared）。試述其意義，並判斷何種模型為佳。（8 分） 在顯著水準5%下，請檢定「GT 基因」在模型1 中是否影響老鼠的 重量？（4 分） 請解釋在考慮模型1 下，請說明如何檢定老鼠的性別之兩條迴歸線 是相同的迴歸線。並請列出虛無假設、對立假設、檢定統計量及決 策法則。（4 分） 在顯著水準5%下，請檢定X1i X2i 相乘項在模型2 中是否對解釋反 應變數Y 有顯著貢獻？請試述虛無假設、檢定統計量之值、決策法 則和結論，以及所需要之假設。請解釋X1i X2i 該項在迴歸模型的意 義。（12 分） 圖4 模型1 的變異數分析 圖5 模型2 的變異數分析

22.212 72 0.589 0.4 5.000 表中p 為各模型中迴歸係數的個數，ܵܵܧ௣為該模型下所得的誤差平方和（error sum of squares），ܴ௣ଶ為其判定係數（coefficient of determination），ܴ௔,௣ ଶ為調整的判定係數 （adjusted oef cient of determination），ܥ௣為Mallows’ ܥ௣ criterion。 c fi 一、若由ܺଶ與ܺଷ的散布圖判斷，該圖中可能有一個離群值。請將該離群值排除後， 重新計算ܺଶ與ܺ相關係數。（10 分） 下列問題皆在顯著水準為0.05 下，進行統計假設檢定： ଷ 二、檢定模型A ଵ的迴歸係數是否為0？（10 ） （下列的問題皆是在無離群值存在的狀況下作答。） 的ܺ 分 ，寫 分 檢定 是否 0 分） 四、若SSReg（ܺ௜|ܺ௝）代表給定ܺ௝已在模型中，ܺ௜加入模型中的額外平方和（extra sum of squares）。請分別計算SSReg（ܺଶ|ܺଵ）、SSReg（ܺଶ|ܺଷ）、SSReg（ܺଶ, ܺଷ|ܺଵ）、 SSReg（ܺଵ, ܺଶ|ܺଷ, ܺସ）。（12 分） 三、針對模型O 出其變異數 析表。 其迴歸係數 同時為0。（1 五、藉由迴歸估計結果及報表，詳細說明「就業者之教育程度結構- 專及以上」 （ܺଶ）此一變數對於粗出生率的影響，是否具統計顯著意義？（ 分） 大 10

請詳細說明前述各模型選取準則的定義，包括ܵܵܧ௣、ܴ௣ଶ、ܴ௔,௣ ଶ及ܥ௣。並說明他 們在模型選取的判斷原則為何？（12 分）

在不同的p 下，請依各準則判斷其所得之最適模型。（12 分）

請決定一個影響粗出生率的最適迴歸模型，並說明理由。（6 分） 九、計算所得的最適迴歸模型的均方誤（MSE），並說明其意義。（6 分） 十、寫出線性迴歸模型之誤差項的假設。並針對誤差項的各項假設，分別提出一種 殘差分析的圖形，及說明在符合假設下各圖形應呈現的型態。（12 分） （請接第五頁） 107年公務人員高等考試三級考試試題 全五頁 第五頁 類 科： 統計 科 目： 迴歸分析 α tα