統計 92 年迴歸分析考古題

通常在早餐中，小朋友會喜歡“喜瑞爾＂(cereal) 伴隨牛奶食用。令Y 表示早餐喜瑞爾保持脆度的 壽命 (以分鐘計)。而X 表示牛奶的溫度 (以攝氏表示)。一位調查者想了解喜瑞爾的脆度和牛奶的 溫度之間是否有關聯。該調查者事先選擇幾個不同溫度並記錄其溫度 ( ix 值) 及脆度的壽命 ( iy 值)。 用這些樣本資料，我們想知道配適線性迴歸模式 i i i x Y ε β β + + = 1 0 是否合適？所收集的數據如下： 表1 X Y X Y X Y X Y 40 13.8 45 12.5 50 10.5 55 8.7 40 14.8 45 12.7 50 10.2 55 8.7 40 11.1 45 10.9 50 8.7 55 6.8 40 11.3 45 10.5 50 8.2 55 6.6 40 9.7 45 6.5 50 6.5 55 3.6 40 8.7 45 7.1 50 5.2 55 4.3 我們擬作缺適檢定(lack-of-fit test)，一些可能會用到的統計量彙整如下： 0667 .9 = y , 5. 47 = x , 750 ) ( 2 = − = ∑ x x S i xx , 653 . 195 ) ( 2 = − =∑ y y S i yy , 5. 257 ) )( ( − = − − = ∑ y y x x S i i xy 表2 X 的水準 ∑ − j j ij y y 2) ( 自由度（df） 40 45 50 55 表3 ANOVA （變異數分析表） 變異來源 平方和（SS） 自由度（d.f.） 均方和 （mean square） F 檢定 迴歸 殘差 （Lack of fit） （Pure error） 總和 195.653 依據前述資訊，請將表2 及表3 繪製於試卷上，並完成之。在顯著水準 05 .0 = α ，作F 檢定 (overall effect) 及缺適檢定。需列出虛無假設與對立假設並判斷檢定結果。此迴歸模式是否描述資料適當？ (請詳述你的理由)。（30 分）

從流行病學的角度，我們有興趣分析台灣地區每日SARS (嚴重急性呼吸道症候群) 可能病例的累積 人數。我們選擇解釋變數是時間t，樣本收集從四月二十一日至五月二十日。Y 表示每日可能病例的 累積人數。觀察散佈圖 (因篇幅限制，無法提供) 發現Y 與t 的關係成曲線狀而非線性關係。擬初步 配適模式如下： t t t Y ε β β + + = 1 0 ln , n t , ,1 Λ = ，此處 tY ln 表示對Y 作自然對數轉換。 所作的迴歸分析，請參見下列報表。 列出上述迴歸線之估計式。（10 分） 評論此迴歸模式是否適當。為什麼適當或不適當？請詳述你的理由。若你認為模式不合適，請列 出建議模式。（15 分） Dependent Variable: Y ln Analysis of Variance Sum of Mean Source DF Squares Square F Value Pr > F Model 1 18.25579 18.25579 2391.95 <.0001 Error 29 0.22133 0.00763 Corrected Total 30 18.47713 Root MSE 0.08736 R-Square 0.9880 Dependent Mean 4.79724 Adj R-Sq 0.9876 Coeff Var 1.82110 Parameter Estimates Parameter Standard Variable DF Estimate Error t Value Pr > |t| Intercept ( 0 β ) 1 3.42448 0.03216 106.49 <.0001 t ( 1 β ) 1 0.08580 0.00175 48.91 <.0001 Durbin-Watson D 0.527 Number of Observations 31 1st Order Autocorrelation 0.685

我們考慮配適簡單線性迴歸模式 i i i x Y ε β β + + = 1 0 , n i ..., 2,1 = 。請寫出下列每一個陳述中所必要用 到之假設。請詳述在何處需要用到你所提的假設。 最小平方法估計 0 β 和 1 β 。（8 分） 作t 和F 檢定。（8 分） 證明參數的最小平方法估計式是不偏的 (unbiased) 及一致的 (consistent) 估計量。（9 分）

我們有興趣了解房價與一些變數之間的關係。令Y 表示房屋仲介公司對託售房屋之出價金額 (萬 元)。我們收集有關託售房屋之坪數( X )及房屋坐落之區域，共有三區。考慮配適之線性迴歸模式如 下， i i i i i i i i i D X D X D D X Y ε β β β β β β + + + + + + = ,2

,1 4 , 2 3 ,1 2 1 0 , 30 , ,1 Λ = i ， 此處 Y：房屋之出價金額 (萬元) X：房屋之坪數 ⎩ ⎨ ⎧ = 其他 1 房屋坐落在區域 0 1 1 D ⎩ ⎨ ⎧ = 其他 2 房屋坐落在區域 0 1 2 D 且 iε 是獨立且具平均數為0、變異數為 2 σ 常態分配之隨機變數。 解釋如何檢定房屋坐落在三個區域之三條迴歸線相互平行。請定義你在解釋中所需用到的任何符 號，並請列出虛無假設、對立假設、檢定統計量及決策法則，不需查表。（10 分） 請解釋如何檢定房屋坐落在三個區域之三條迴歸線其截距項是相同的。請定義你在解釋中所需用 到的任何符號，並請列出虛無假設、對立假設、檢定統計量及決策法則，不需查表。（10 分） α