統計 93 年迴歸分析考古題

我們有興趣了解成年男子其體重與一些變數之間的關係。我們收集了十五名相同身高的男子資料。 以體重（公斤）為應變數Y，每週運動量（小時）和年齡為解釋變數 1x 和 2x 。我們考慮配適線性迴 歸模式 i i i i x x Y ε β β β + + + =

2 1 1 0 ， n i ..., 2 ,1 = . 請由圖一輸出結果回答下列問題：（20 分） 請寫出估計迴歸式。 請計算 2 R 和 2 R （ 2 R 代表adjusted 2 R ）。 在5%顯著水準下，分別敘述檢定 0 : 0 01 = β H ， 0 : 1 02 = β H ， 0 : 2 03 = β H 之結果。 請問你是否可用 1 β 和 2 β 的估計值之大小來判斷解釋變數的重要性？如果否的話，請說明你該如 何判斷解釋變數的重要性？ 圖一 Dependent Variable: y 體重 Analysis of Variance Sum of Mean Source DF Squares Square F Value Pr > F Model 2 636.07314 318.03657 19.00 0.0002 Error 12 200.86020 16.73835 Corrected Total 14 836.93333 Root MSE 4.09125 R-Square ______ Dependent Mean 74.73333 Adj R-Sq ______ Coeff Var 5.47447 Parameter Estimates Parameter Standard Variable Label DF Estimate Error t Value Pr > |t| Intercept Intercept 1 43.64005 8.02446 5.44 0.0002 x1 運動量 1 -0.51438 0.34473 -1.49 0.1615 x2 年齡 1 0.94703 0.19049 4.97 0.0003 二、 在作多重線性迴歸分析時常會發生「多重共線性」(multicollinearity) 的現象，請解釋何謂「多 重共線性」？請敘述如何偵測多重共線性？請詳述判斷的方法。 如何檢查線性迴歸模式中誤差項是否滿足獨立性之假設？請列出檢定誤差有一階相關性的統 計量。簡述該統計量如何判斷誤差項是否獨立。 假設有一班微積分成績，其學生有30 個男生40 個女生。試說明如何利用一迴歸模式檢定男生 與女生之平均成績有無差異。 （15 分）

某人有興趣了解身高與體重的關係。在收集資料後，他繪製 體重與身高之散佈圖並進行兩變數之相關性分析。體重與身 高之散佈圖在圖二，兩變數之樣本相關係數是0.940，因此 某人宣稱「體重」與「身高」有非常強的正相關性。試評論 某人之分析結果並針對圖二說明你會如何分析以期達到最 適之模式。（10 分） 圖二 九十三年公務人員高等考試三級考試第二試試題 科 別： 統計 全一張 （背面）

一迴歸分析之估計迴歸式為 i i x y

0.1 ˆ + = ， 25 ..., 2 ,1 = i 。（10 分） 假如我們在數據裏的每個x值加上5，新的估計迴歸式會是什麼樣？ 假設我們分別對 ) , ( i i y x 轉換為 ) 32 ( 9 5 − = i i x u 及 1000 i i y v = ， 25 ..., 2 ,1 = i . 假設y 與x的樣本相關 係數是0.8，u 與v的樣本相關係數為何？請詳述你的理由。 五、冰淇淋店老闆想要知道每日正中午之溫度 ) (X 與冰淇淋賣出量 ) (Y 是否有線性關係。考慮配適之線 性迴歸模式如下， i i i x x y ε β α + − + = ) ( ， , , ,1 n i = (1) 此處iε 是獨立且具平均數為0、變異數為 2 σ 常態分配之隨機變數。一些可能會用到的統計量彙整如下： 6. 35 = y ， 4. 87 = x ， 1. 28 ) ( 2 = − ∑ = x x S i xx ， 9.3 ) ( 2 = − ∑ = y y S i yy ， 4.8 ) )( ( = − − ∑ = y y x x S i i xy ， 20 = n . 計算樣本相關係數。 請依據(1)式寫出估計迴歸式。 計算誤差平方和(error sum of squares )並估計σ 。 請決定線性迴歸模式所能解釋Y 的變異的百分比。 （20 分） 六、圖三中(a)-(h)是配適簡單線性迴歸模式之 各種殘差圖（迴歸殘差ir 與解釋變數 ix 或 預測值 iyˆ 的圖）。請逐一針對每個殘差圖檢 查模型是否適當。如果發現模型的不適當 性，請建議該如何修正。（25 分） 圖三 ri ri ri ri ri ri ri ri i or xi (a) i or xi (b) i or xi (d) i or xi (c) i (e) i (f) i (h) i (g)