統計 102 年迴歸分析考古題

對以下之簡單線性迴歸模式()niNXYdiiiiii,,1,,0~,12...1K=++=σεεβ,iX 為已知自變數（independent variable）且不全為0。令1ˆβ 是參數1β 之最小平方估計量（least squares estimator）及1βαe=。（每小題10 分，共20 分）㈠請找出參數α 之最大概式估計量（maximum likelihood estimator）。㈡請求出1ˆβ 之期望值( )1ˆβE及變異數( )1ˆβVar（請詳列推導過程）。

(),10,,1,,K=iyxii為對應以下簡單線性迴歸模式()10,,1,,0~,2...10K=++=iNXYdiiiiiiσεεββ,之觀察值。對以下ix 值時，iy 有重覆觀察值：ix 值重覆觀察iy 值 , , 60, , , 53令0ˆβ 、1ˆβ 為0β 及1β 之最小平方估計量之值。給定以下結果：()iiiiiiixyyyy ˆˆˆ,44.118ˆ, ββ +==−=∑∑==。㈠試完成以下對應虛無假設（null hypothesis）0:100== ββH之變異數分析表（ANOVA table）：(1)～(8)來源自由度（degree of freedom）平方和（sum of squares）均方和（mean square）F迴歸（Regression）2(3)(6)(8)殘差（Error）(1)(4)(7)總和(2)(5)並寫出F 統計量之虛無分布（null distribution），即F 統計量在虛無假設成立時之機率分布。（15 分）㈡請算出缺適（lack of fit or goodness of fit）檢定統計量之值。並明確寫出檢定統計量之虛無分布。（10 分）102年特種考試地方政府公務人員考試試題代號：

(),4,1,,,21K=iyxxiii為對應以下多重線性迴歸模式()4,,1,,0~,2... K=+++=iNXXYdiiiiiiiσεεβββ,之觀察值。令0ˆβ 、1ˆβ 及2ˆβ 為0β 、1β 及2β 之最小平方估計量或其值。X 為自變數矩陣，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 11xxxxxxxxX。給定以下之結果：()。 0ˆˆˆˆ,10,5.0ˆ,5.105.2ˆˆˆˆ, 004iiiiiiiitxxyyyyXXβββββββ++===−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=∑∑==㈠算出βˆ 之共變異數矩陣（covariance matrix），即()ββ ˆ,ˆCov。（5 分）㈡算出2R 。（5 分）㈢給定05.0=α，利用t 統計量檢定01:20≥+βHversus01:20<+βH。（10 分）（706.12,314.6,303.4,92. .0,105.0, .0,205.0,2====tttt）㈣給定05.0=α，利用F 統計量檢定0: ===βββHversus0or0or0: ≠≠≠βββH。（10 分）（19,200,2.19, .0,2,205.0,1,205.0,2,305.0,1,3====FFFF）㈤算出1β 之95％之信賴區間。（5 分）

考慮以下多重線性迴歸模式()niNXXXYdiiiiippiii,,1,,0~,2... KL=++++=σεεβββ。令[][]pjXXXXYYYYtnjjjjtn,,1,, KKL===。假設,,1,niXijK=不全為0 且kjXXktj≠= ,0。㈠試以Y 及jX 來表示pββ,,1 K之最小平方估計量以及殘差平方和（residual sum ofsquares）。（12 分）㈡考慮另一線性迴歸模式niXXXYiippiii,,1, KL=++++=ζααα,()22,0~σζaNi為彼此獨立之隨機誤差且a 為正常數。試求以Y 及jX 來表示pαα,,1 K之加權最小平方估計量（weighted least squares estimator），且找出此加權最小平方估計量與在㈠之pββ,,1 K最小平方估計量之關係式。（8 分）