統計 96 年迴歸分析考古題

若資料niYXii,...,2,1),,(=滿足下列簡單線形迴歸模式（simple linear regression model）；()niNdiiXYiiii,...,2,1,,0...~,210=++=σεεββ（每小題10 分，共60 分）㈠請寫出iY 之期望值)( iYE，與變異數)( iYV。㈡請寫出迴歸母數0β 與1β 之最小平方不偏估計式0b 與1b 。㈢請寫出簡單線形迴歸模式情況下之高斯－馬可夫（Gauss-Markov）定理。㈣若殘差iiiYYeˆ−=，且iiXbbY10ˆ+=，請證明∑==niie10。㈤請證明∑==niiieX10。㈥請證明∑==niiieY10ˆ。

在簡單線形迴歸模式中，()niNdiiXYiiii,...,2,1,,0...~,210=++=σεεββ若0b 為0β 之最小平方不偏估計式，請寫出0b 之變異數)( 0bV。（10 分）

在簡單線形迴歸模式中，()niNdiiXYiiii,...,2,1,,0...~,210=++=σεεββ若0b 為0β 之最小平方不偏估計式，且kkXbbY10ˆ+=，請寫出kYˆ 之機率分配。（10 分）

在簡單線形迴歸模式中，若已知樣本資料之決定係數（coefficient of determination）2r 與自變數X 與應變數Y 之相關係數r 相等且均不為0，即有02 ≠−=rr，則無論樣本大小為何、顯著水準為何，是否均可經由統計檢定；1:1:,1,0−>−=YXYXHvsHρρ，獲得不棄卻虛無假設之結論，請討論之。（10 分）

複線形迴歸模式（multiple linear regression model）；()niNdiiXXXYiiippiii,...,2,1,,0...~,... =+++++=σεεββββ可以矩陣型式簡捷表示為()nnINXY2,0~,σεεβ +=請寫出β 之最小平方估計向量βˆ 及其機率分配。（10 分）