統計 110 年迴歸分析考古題

下表為中華民國110 年10 月底人口數、性別比例及人口密度統計表。 縣市 土地面積 （平方公里） 人口數 性別比例（每百女 子所當男子數） 人口密度（每平 方公里人口數） 總計 男 女 新北市 2,052.57 4,014,869 1,960,442 2,054,427 95.43 1,956.02 臺北市 271.7997 2,538,299 1,208,385 1,329,914 90.86 9,338.86 桃園市 1,220.95 2,272,663 1,125,386 1,147,277 98.09 1,861.38 臺中市 2,214.90 2,815,477 1,382,072 1,433,405 96.42 1,271.15 臺南市 2,191.65 1,864,799 928,682 936,117 99.21 850.86 高雄市 2,951.85 2,749,293 1,355,140 1,394,153 97.20 931.38 宜蘭縣 2,143.63 451,175 227,222 223,953 101.46 210.47 新竹縣 1,427.54 574,806 293,417 281,389 104.27 402.66 苗栗縣 1,820.31 538,940 277,786 261,154 106.37 296.07 彰化縣 1,074.40 1,257,033 638,686 618,347 103.29 1,169.99 南投縣 4,106.44 485,983 248,298 237,685 104.47 118.35 雲林縣 1,290.83 671,182 346,966 324,216 107.02 519.96 嘉義縣 1,903.64 494,293 256,417 237,876 107.79 259.66 屏東縣 2,775.60 805,717 410,328 395,389 103.78 290.29 臺東縣 3,515.25 213,718 109,715 104,003 105.49 60.80 花蓮縣 4,628.57 321,971 162,726 159,245 102.19 69.56 澎湖縣 126.8641 106,147 54,656 51,491 106.15 836.7 基隆市 132.7589 364,766 181,861 182,905 99.43 2,747.58 新竹市 104.1526 452,844 223,672 229,172 97.60 4,347.89 嘉義市 60.0256 265,208 128,102 137,106 93.43 4,418.25 金門縣 151.656 141,180 70,367 70,813 99.37 930.92 連江縣 28.8 13,516 7,822 5,694 137.37 469.31 若性別比例為X，人口密度為Y，且∑ܺ=2,256.69、∑ܻ=33,358.11、 ∑ܺଶ=233,202.3、∑ܻଶ=147,581,075 及∑ܻܺ=3,226,744，計算性別比例 與人口密度之相關係數。（10 分）

依題一的資料，以人口密度作為反應變數，其他皆為解釋變數進行迴歸 模型分析，得到以下參數估計結果： Estimate Std error （Intercept） 10,890.376 3,076.995 土地面積 -0.550 0.178 人口數總計 0.053 0.0101 人口數男 -0.110 0.022 人口數女 NA NA 性別比例 -76.789 28.760 ㈠參數估計表中之「NA」表示估計結果是不可得到的；詳述「人口數女」 之參數估計結果為「NA」之原因。（5 分） ㈡詳述「土地面積」之迴歸係數估計值的意義。（5 分） ㈢在顯著水準為0.01 下，檢定各解釋變數之顯著性；並依此結果決定那 些變數可被剔除。（10 分）

依題二的迴歸模型分析，得到以下變異數分析（Analysis of variance， ANOVA）表： Source of variation Degrees of freedom Sum of squares Mean square F Regression （1） （4） （6） （8） Error （2） 18,022,930 （7） Total （3） （5） ㈠寫出ANOVA 表中（1）至（8）的值。（8 分） ㈡計算判定係數R²及調整判定係數ܴ௔ଶ，並詳述兩者之意義與差異。（10 分） ㈢下表為各解釋變數之變異膨脹因子（variance inflation factor，VIF）： 土地面積人口數總計 人口數男 性別比例 VIF 1.178 2,876.474 2,870.672 1.341 詳述何謂VIF 及其值的意義。（12 分）

若SSR 表示迴歸平方和（sum of squares for regression） ㈠詳述「額外的平方和（Extra sum of squares）」SSR(ܺଵ, ܺସ|ܺଶ, ܺଷ)的意 義。（5 分） ㈡詳細推導 SSR(ܺଵ, ܺଶ, ܺଷ, ܺସ) = SSR(ܺଵ) + SSR(ܺଶ|ܺଵ) + SSR(ܺଷ|ܺଵ, ܺଶ) +SSR(ܺସ|ܺଵ, ܺଶ, ܺଷ)。（10 分）

若考慮一因子變異數分析有t 個處理，每個處理有r 個觀測值，其模型 表示如下： ܻ௜௝= ߤ+ ߬௜+ ߝ௜௝， i=1,2,…,t ，j=1,2,..,r ， 其中ߤ為總平均數，߬௜為第i 個處理效應，ߝ௜௝是隨機誤差項。 ㈠若以線性迴歸模型 ܇= ܆઺+ ઽ 改寫上述一因子變異數分析模型，請定義܇，܆，઺及ઽ，並詳述其維度。 （10 分） ㈡為統計推論之目的，說明隨機誤差項所需的假設。（5 分） ㈢若欲檢定是否存在處理效應，請詳述此檢定之虛無假設、對立假設、 檢定統計量及其拒絕域。（10 分） t分配表 tα