統計 110 年抽樣方法考古題

利用簡單隨機抽樣法（simple random sampling），自母體{6, 7, 8, 9, 10}中 抽出3 個數為一組樣本，樣本中的最大值以X 表示，最小值以Y 表示。 ㈠請列出X，Y 的聯合機率分配（joint probability distribution）f(x, y)。 （10 分） ㈡請求算機率( 10, 7) p X Y 。（5 分） ㈢請求算期望值( 6) E X Y 。（5 分） ㈣令 + Z X Y ，請計算期望值( ) E Z 。（5 分）

公司在全國250 個銷售據點販賣新產品A，為了解A 產品的市場接受度， 行銷部門依全國地理位置分為甲、乙、丙、丁四個區域，其中甲區有85 個 銷售據點，乙區有70 個銷售據點，丙區有60 個銷售據點，丁區有35 個 銷售據點。現將每個區域視為一個層別，以分層隨機抽樣（stratified random sampling）法，自甲、乙、丙、丁各區中分別抽出15，12，8，5 個銷售據 點，調查每個銷售據點A 產品一週的銷售數量。由於各區幅員及交通狀況 不同，調查費用也隨之不同，已知甲、乙、丙、丁各區，調查每個銷售據 點的成本分為6.25、4、9、9（單位：萬元）。調查結果得A 產品在每個 銷售據點一週銷售數量的平均數及標準差資料如下： 區域 甲 乙 丙 丁 平均數 80.6 165 304 482 標準差 32.5 95.2 129.6 269.1 ㈠估計A 產品一週的總銷售量並計算其95%信賴區間。（10 分） ㈡現公司的管理高層欲估計A 產品一週的總銷售量，及要求估計的95% 誤差界限為5000，則各區須調查多少個銷售據點，才能使調查總費用 最低？同時計算需花費多少的調查費用？（14 分） ㈢若調查總費用的預算為350 萬元，請問各區銷售據點最佳的調查數量為 何，方能達到㈡的要求？（6 分）

某貿易商進口了一批5000 箱的機能飲料，每箱飲料依序編號且每一箱內含 有20 瓶飲料。現貿易商的主管想了解每瓶飲料的平均咖啡因含量，遂依每 箱飲料編號順序，以每隔500 箱抽出一箱方式，自此批飲料中抽出10 箱， 檢測每箱飲料的咖啡因含量，分別為 1 2 10 , ,..., y y y 。（每小題10 分，共20 分） ㈠請問貿易商的主管採用何種抽樣方法？母體大小為何？ ㈡參數為何？請寫出該參數的估計量。

報名參加減肥中心春季班的班員共有200 人，經減肥中心量測得平均體重 為72.5 公斤。每位班員均採用減肥中心提供之飲食餐3 個月後，減肥中 心主管想了解班員體重情況，於是從班員中隨機選了10 位班員，並且測 量其體重。得這10 位班員減肥前及減肥後體重資料如下： 班員 1 2 3 4

㈠考慮集群抽樣，若母體總數M 已知，請問母體總和的估計量為何？若 不知母體總數M，但知道集群總數N 時，請問母體總和的估計量為 何？（5 分） ㈡考慮兩階段集群抽樣，證明母體平均估計量 1 1 n i i i M y n M 是母體平 均的不偏估計量。其中M =M/N。提示： 1 2|1 ( ) ( ) E E E （10 分） ㈢考慮兩階段集群抽樣，由相等大小集群M 抽取相等大小樣本m，且當 N 很大時，證明在固定抽樣成本下，使 2 2 1 ( ) ( ) w b V n m 值最小的m 為 2 1 2 2 w b c m c ，其中1c 是第一階段每一觀察值的成本，2c 是第二階段每 一觀察值的成本， 2 b 是集群平均間的變異數， 2 w 是集群內元素間的變 異數。（10 分）

33 57

41 76

9 10 減肥前體重 58 82 64 76 64 76 54 50 88 94 減肥後體重 52 70 64 64 58 70 52 46 76 82 ㈠分別以比率估計量（ratio estimator）、廻歸估計量（regression estimator） 及差數估計量（difference estimator），估計班員減肥後的平均體重，並 計算其變異數。（21 分） ㈡根據㈠的結果，您會建議採用那一個估計量？（4 分）