統計 104 年抽樣方法考古題

假設F { } , , , 4 3

1 u u u u = 是一個僅僅包含四個元素的小規模有限母體（finite population），而我們採用簡單隨機抽樣（simple random sampling）從母體F 之中抽出 樣本大小（sample size）為 2 = n 的樣本組合，那麼總共會有多少種不同的樣本組合？ 如果我們改用機率均等的隨機置回抽樣（sampling with replacement），那麼總共會有 多少種不同的樣本組合？如果母體F 之中四個元素的研究變數（study variable）值分 別為 1 1 = y 、

2 = y 、 3 3 = y 、以及 9 4 = y ，那麼母體F 的母體平均數（population mean） 是多少？母體變異數（population variance）是多少？（5 分） 二、假設第一題之中從母體F 抽出簡單隨機樣本的樣本數據為1Y 與 2 Y （註：採用大寫英 文字母Y ，表示樣本數據皆為隨機變數）。我們分別使用下列三種不同的點估計量 （point estimator）來估計母體變異數 2 σ ： σ (1) 2 ෢ ∑ = − = n i i Y Y n 1 2) ( 1 ，σ (2) 2 ෢ ∑ = − − = n i i Y Y n 1 2) ( 1 1 ，σ (3) 2 ෢ ∑ = − − − = n i i Y Y n N N 1 2) ( )1 ( 1 ， 其中Y 為樣本平均數（sample mean）、N 為母體大小（population size）。 ㈠試計算以上三種估計量的抽樣分布（sampling distribution）與均方誤差（mean square error），並判別它們是否為不偏估計量（unbiased estimator）。（20 分） ㈡假設我們改用機率均等的隨機置回抽樣，請重新判別三種估計量是否為不偏估計 量。簡答即可，無需計算或證明。（3 分） 三、假設某一間大學共有8000 位學生，其中2000 人為男生，6000 人為女生。同時，8000 位學生之中有7000 人屬於日間部，1000 人屬於夜間部。 ㈠我們打算採用分層隨機抽樣（stratified random sampling）之方法從8000 位學生之 中抽出 16 = n 位學生，來估計8000 位學生的平均身高。那麼應當依照男女性別來 分層，抑或依照日間、夜間部別來分層較為恰當？如果依據比例配置（proportional allocation）來進行抽樣，須要分別從各層抽出多少人？抽出樣本並取得樣本觀測值 之後，應如何估計8000 位學生的平均身高？另外，如果我們想要採用分層隨機抽 樣來調查8000 位學生的月平均收入（例如校外打工或兼差之收入），那麼應當依 照男女性別來分層，抑或依照日間、夜間部別來分層較為恰當？（8 分） ㈡先前採用分層隨機抽樣來估計8000 位學生之平均身高的問題，如果依據尼門配置 （Neyman allocation）來進行抽樣，須要分別從各層抽出多少人？假設母體之中男 生層之身高的變異數為女生層之身高變異數的1.96 倍，日間部與夜間部學生身高 的變異數比例數為1.1。（8 分） ㈢先前估計8000 位學生之平均身高的問題，如果我們改用事後分層（post-stratification） 之方法來抽樣與推估，那麼整個調查過程應該如何進行？從樣本配置的觀點來看， 事後分層可以被視為何種類型之配置？由於 16 = n 屬中小樣本，萬一發生空事後層 （empty post-stratum）之情形，應當如何處理或補救？（12 分） 104年特種考試地方政府公務人員考試試題 等 別： 三等考試 類 科： 統計 科 目： 抽樣方法

何謂雙重抽樣（double sampling）？試就分層隨機抽樣以及比值估計兩種情況分別說 明之，並寫出點估計量的數學式。（22 分）

集群抽樣（cluster sampling）以及二階段集群抽樣（two-stage cluster sampling）與比 值估計有何關聯性？試就估計母體平均數之情況予以分別說明並寫出點估計量的數 學式。（22 分）

請計算下列問題：（每小題15 分，共30 分） ㈠某一工廠所生產奶茶的包裝都是以12 包裝成一箱，現隨機抽取五箱，稱其每箱的重 量，得到下列的數據：120.0、120.1、120.0、120.5、119.7 公克。假設此工廠所生產 的奶茶數量相當龐大，試估計此工廠所生產的奶茶平均一包的重量及其變異數。 ㈡此工廠為因應市場不同的需求，目前所生產奶茶的包裝有以24 包、12 包及6 包裝 成一箱。此工廠每天所生產的奶茶箱數有1,000 箱，24 包的奶茶箱數是200 箱、 12 包的奶茶箱數是400 箱、6 包的奶茶箱數是400 箱。因每箱奶茶的重量與每箱 奶茶的包數有很大的正相關，故採用比例機率（pps）集群抽樣。現隨機抽取五箱， 分別取得24 包、12 包、12 包、6 包、6 包裝，稱其每箱的重量，分別得到下列的 數據：240.0、120.1、120.0、60.25、59.785 公克，試估計此工廠所生產的奶茶平 均一包的重量及其變異數。