統計 108 年抽樣方法考古題

將5 個大小質量皆相同的球，分別編號為1, 2, 3, 4, 5，且將其放入袋中。 現以簡單隨機抽樣法一次抽取2 個球。 設 i X 為第i 個球之編號，

,1 = i ， 2 2 1 X X X + = 。 ㈠求X 之抽樣分配。（10 分） ㈡驗證X 是否為母體平均數µ 的不偏估計式。（5 分） ㈢說明X 的變異數與母體變異數 2 σ 之間的關係。（10 分） 二、為了解學生平時打工情形，A 大學特地進行下列調查計畫。已知A 大學 共有100 個班級，現自100 個班級中隨機抽出5 個班級，再由這5 個班 級中隨機抽出部分學生，調查每位學生每星期打工時數（ ijy ），得到如 下資料： 班級學生人數 i M 抽樣學生數 i m i m j ij i m y y i ∑= = 1 1 ) ( 1 2 2 − − = ∑= i m j i ij i m y y s i 50 5 29 15 78 8 15 9 62 6 20 22 71 7 35 20 39 4 45 18 ㈠請問這是何種抽樣方法？（5 分） ㈡請估計每位學生每星期的平均打工時數，並求算其95%誤差界限。 （10 分） ㈢若已知A 大學學生總人數為5880 人，請估計每位學生每星期的平均 打工時數，並求算其95%信賴區間。（10 分）

甲社團的團長欲了解該團團員每月花費多少的交通費用，已知甲社團共 有團員205 位，利用團員通訊錄的資料，採10 取1 的系統抽樣法，調 查得21 位團員每月的交通費用（yi, i=1, …, 21）如下： （每小題10 分，共20 分） 2030, 1720, 1850, 2210, 2150, 2370, 2000, 1930, 1570, 1910, 2380, 2540, 1720, 1900, 2200, 2100, 1860, 1800, 2050, 2420, 2090 ㈠估計甲社團團員每月的平均交通費用，且求算此平均交通費用的95% 信賴區間。 ㈡採用連續的差數（successive differences），di= i i y - y 1 + (i=1, …, 21)，估 計甲社團團員每月的平均交通費用的變異數。同時比較㈠、㈡這兩種 估計變異數方法的準確度，說明何種估計方法較合適。

社會學者欲研究甲城市年齡65 歲以上的老年人口狀況。現依地理位置 將甲城市劃分為80 個區域，自此80 個區域中，以簡單隨機抽樣法，抽 出6 個區域，調查每個區域的居民人數及年齡65 歲以上的老年人口數。 得調查資料如下：（每小題10 分，共30 分） 區域 1 2 3 4

125 200 10 42 252 註：上述調查資料經計算得∑ ， ， ， ， ，在簡單集體抽樣法下，電力公司營 業處利用 900 M 10 1 i i = = 514 , 91 M 10 1 i 2 i = ∑ = 685 ,2 y 10 1 i i = ∑ = 777 , 819 y 10 1 i 2 i = ∑ = 551 , 251 y M 10 1 i i i = ∑ = ∑ ∑ = = = 10 1 i i 1 i M y 10 i C1 y ， ∑ = = 10 1 i i C2 y n 1 M N y ， ∑ = = 10 1 i i C3 y n 1 y 等3 個估計式 （其中 i i i M y y = ）來估計該市每戶裝置冷氣機之平均台數 Y μ 。則： ㈠試以 C1 y 、 C2 y 、 C3 y 來估計該市每戶裝置冷氣機之平均台數 Y μ ，則 Y μ 估 計值分別為何？（9 分） ㈡若以估計式 C1 y 估計 Y μ ， 則該估計在95%的信賴度下，其最大可能估 計誤差界限B 為何？（9 分） ㈢請根據上述調查資料，試分別求 C1 y 、 C2 y 、 C3 y 等3 個估計式的估計變 異數 3,2,1 i ), y ( Vˆ ci = 之值為何 ? 並請說明哪一個估計式在估計 Y μ 時有 較好的估計效率？（6 分） 五、某市政府之行政區按區域別分為南區與北區，該市人事長想了解該市職 工去年上半年（1~6 月份）與今年上半年（1~6 月份）因生病請假時數 之變動比率，分別自南、北兩區各以簡單隨機抽樣抽出100 名職工進行 調查，得相關統計資料如下： 區域別 職工總數 ( )(人) i N 樣本數 ( )(人) in 去年上半 年樣本平 均數( i X ) 今年上半 年樣本平 均數( iY ) 去年上半 年樣本標 準差( ) i X S 今年上半 年樣本標 準差( ) i Y S 去年與今年上 半年樣本相關 係數 ( i XY ρˆ ) 1（南區） 1,000 100 18.0 18.9 10.0 10.36 0.9841 2（北區） 1,500 100 7.5 4.8 5.45 3.50 0.5576 其中： 設 ：去年上半年第i位職工因生病請假的時數； i X iY ：今年上半年第i位職工因生病請假的時數； i X ：去年上半年因生病請假的樣本平均時數； iY ：今年上半年因生病請假的樣本平均時數； Xi S ：去年上半年因生病請假時數的樣本標準差； Yi S ：今年上半年因生病請假時數的樣本標準差； i XY ρˆ ：去年與今年上半年因生病請假的時數的樣本相關係數。 又已知去年上半年（1~6 月份）南區職工因生病請假的總時數 300 , 16 1 = X τ 小時，北區職工因生病請假的總時數 800 , 13 2 = X τ 小時。根據上述資料： ㈠試估計該市南區職工去年上半年（1~6 月份）至今年上半年（1~6 月 份）因生病請假的時數之變動比率R 為何？又在95%的信賴度下，其 最大可能估計誤差界限B 為何？（6 分） ㈡對於㈠之估計問題，若要求在95%的信賴度下，其最大可能估計誤差 界限B 不超過0.02，試問應抽出多少樣本才足夠？（6 分） ㈢試以比率估計（ratio estimation）估計該市南區職工今年上半年（1~6 月份）因生病請假的平均時數 1 Y μ 及該市北區職工今年上半年（1~6 月 份）因生病請假的平均時數 2 Y μ 。（6 分） ㈣若視上述調查資料為分兩層（南區及北區），利用分層隨機抽樣法調 查所得，請你幫忙該市人事長用層別比率估計式（separate ratio estimator）估計該市2,500 位職工今年上半年（1~6 月份）因生病請假 的平均時數 Y μ 。又其在95%的信賴度下，其最大可能估計誤差界限B 為何？（6 分）

居民人數 85 37 49 50 34 45 65 歲以上的老年人口數 15 8 12 11 8 12 ㈠估計甲城市年齡65 歲以上的老年人口比例，且計算此比例的95%誤 差界限。 ㈡估計甲城市年齡65 歲以上的老年人口總數，且求算此總數的95%信 賴區間。 ㈢現透過戶政資料，得知甲城市居民總數為4250 人，試利用此資料估 計甲城市年齡65 歲以上的老年人口總數，並比較㈡、㈢這兩種估計 方法那一種較適合。