統計 107 年抽樣方法考古題

某一種分層抽樣設計將母體分成三層，並且取得以下關於母體與樣本的 相關資訊： z 第一層有100 個抽樣單元、樣本數是50、樣本平均是10、樣本變異 數是800； z 第二層有100 個抽樣單元、樣本數是50、樣本平均是20、樣本變異 數是700； z 第三層有100 個抽樣單元、樣本數是50、樣本平均是30、樣本變異 數是600； 請回答：（t0.025(147) = 1.976233） ㈠估計母體平均數。（5 分） ㈡請提供信賴區間所需t 分配的自由度。（10 分） ㈢承上小題，提供母體平均數的95%信賴區間（答案請四捨五入到第二 位小數）。（10 分）

承上題。假設研究者想試算簡單隨機抽樣的結果。（t0.025(49) = 2.009575） ㈠請單獨根據第一層的資訊估計母體平均數及提供母體平均數的95% 信賴區間（答案請四捨五入到第二位小數）。（10 分） ㈡請單獨根據第二層的資訊估計母體平均數及提供母體平均數的95% 信賴區間（答案請四捨五入到第二位小數）。（10 分） ㈢請單獨根據第三層的資訊估計母體平均數及提供母體平均數的95% 信賴區間（答案請四捨五入到第二位小數）。（10 分）

假設總樣本數是150。再假設研究者把母體分成三層並且取得以下相關 資訊： z 第一層有100 個抽樣單元、母體變異數16； z 第二層有200 個抽樣單元、母體變異數25； z 第三層有300 個抽樣單元、母體變異數36； 請回答：假設抽樣成本是一致的，請問根據最佳分配原則， ㈠第一層分配到樣本數是多少（答案請四捨五入到個位數）？（5 分） ㈡第二層分配到樣本數是多少（答案請四捨五入到個位數）？（5 分） ㈢第三層分配到樣本數是多少（答案請四捨五入到個位數）？（5 分）

某大學某系所 60 位學生針對107 年公投議題進行假投票，他們的座號 從「01」開始一直編到「60」。抽樣方法課的授課師長為了示範系統抽 樣，私底下先詢問了全班每一位同學對「議題甲」的個人意見。發現座 號「04, 05, 07, 10, 15, 17, 19, 25, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 37, 39, 45, 46, 50, 53, 58, 60」的這幾位同學表示支持議題甲。現在引用「每5 個取 1 個」 的系統抽樣估計支持者的比例。 請回答：如果系統抽樣的起始座號是03， ㈠支持議題甲的樣本比例等於多少（答案請用分數表達）？（15 分） ㈡估計上述樣本比例的變異數（答案請四捨五入到第四位小數）。（10 分） ㈢假設估計誤差被定義為上述變異數放大4 倍後的正方根，請問第一小 題樣本比例的估計誤差等於多少（答案請四捨五入到第四位小數）？ （5 分）

㈠某一間大學的學術部門打算採用二階段集群抽樣（two-stage cluster sampling）之方 法來推估校內全體專任教師在前一個學年度的學術論文平均產量（亦即，推估任 何一位專任教師在前一個學年度的學術論文平均發表篇數），並且將校內的每一個 科系視為一個集群。試就比值估計（ratio estimation）以及不偏估計（unbiased estimation）兩種情況分別說明如何進行二階段集群抽樣以及如何推估，並寫出點 估計量的數學式。（13 分） ㈡假設前一小題之中的學術部門打算改變為採用集群抽樣（cluster sampling）之方法來 推估校內全體專任教師在前一個學年度的學術論文平均產量，並且依舊將校內的每 一個科系視為一個集群。試就比值估計（ratio estimation）以及不偏估計（unbiased estimation）兩種情況分別說明如何進行集群抽樣以及如何推估，並寫出點估計量的 數學式。（13 分） [註] 集群抽樣又稱之為單階段集群抽樣（single-stage cluster sampling）

在什麼情況之下，使用系統抽樣（systematic sampling）之方法來推估母體的平均數， 其推估之效果會優於使用簡單隨機抽樣的推估效果？請詳細說明。（5 分）