統計 104 年統計學考古題

常態分配（Normal distribution）其平均數為0，變異數為

某手機殼製造商在研發測試過程中，收集其製造25 支某特定型號樣本手機殼的重量 （公克）紀錄，經整理後得到該型手機殼重量的樣本標準差為4（公克），假設該型 手機殼的重量服從常態分配。（每小題10 分，共20 分） 請建構該型手機殼重量變異數的90%信賴區間。 試以顯著水準 1.0 = α ，檢定此手機殼製造商所製造手機殼重量的變異數是否合乎 下游廠商採購所要求的規格「手機殼重量的變異數須不大於9 」（即 9 : . 9 :

某一汽車經銷商計算其每賣一部新車的獲利（以十萬元為單位）為

σ ，機率密度函數為 ) 2 ) ( ( 2 1 ) | ( 2 2 2 2 σ πσ σ x exp x f − = 。從中隨機抽取n 個隨機樣本， n X X X , , , 2 1 L 。 虛無假設與對立假設分別為 0 0 : σ σ = H 和 0 1 : σ σ > H ，求齊一最強檢力檢定 （uniformly most powerful test）。（13 分） 由所得的檢定，將其檢力函數以卡方分配函數呈現。（10 分） 二、某投資客購買A 股100 張，B 股150 張。令X 代表A 股的獲利而Y 代表B 股的獲 利。假設(X, Y)的聯合分配是齊一（uniform）分布於 4 x 2 ≤ ≤ − , 1 x y 1 ≤ − ≤ − 。 求X 和Y 的邊際機率密度函數。（12 分） 求X 和Y 的期望值。（10 分） 求投資客的獲利期望值。（5 分）

1 2 0 > ≤ σ σ H vs H ）？ 二、某營養連鎖店為了維持所製作Pizza 大小規格的品質，進行特定製程試驗。店長發現， 該店依特定製程所製作出的Pizza 半徑呈現平均值為8 吋，標準差為0.4 吋的常態分配。 現隨機從中抽出4 個Pizza 來組成隨機樣本，其Pizza 半徑樣本平均數的抽樣分配 為何？請寫出分配名稱，及其對應的期望值與標準差。（10 分） 請問隨機從中抽出4 個Pizza 來組成隨機樣本，其Pizza 半徑樣本平均數小於7.6 吋的機率為何？（10 分） 請問隨機從中抽出25 個Pizza 來組成隨機樣本，其Pizza 半徑樣本平均數恰好等於 7.6 吋的機率為何？（5 分）

X Y = ，若X 的 機率密度函數如下： ⎩ ⎨ ⎧ < < − = 其他 0 1 0 ) 1( ) ( x x c x g 請計算求得c值。（5 分） 推導求得Y 之機率密度函數 ) (y f 。（10 分） 請計算該經銷商在賣下一部新車時，其獲利小於一萬元的機率。（5 分） 二、若考慮成對比較試驗（paired-difference experiment），每一成對觀測值 ) , 2,1 ( n j j K = ， 分別接受處理（treatment）i， 1 = i 、2。以下模型描述此一試驗結果： ij j i ij P Y ε μ + + = 其中 i μ 代表處理i 的期望反應， j P 為第j 個成對實驗單位的隨機效應， ij ε 為隨機誤 差。對所有 2,1 = i ， n j , 2,1 K = ，假設 j P 為獨立的常態分配，其均數為 0 ) ( = jP E ， 變異數 2 ) ( P jP Var σ = ； ij ε 為獨立的常態分配， 0 ) ( = ij E ε ， 2 ) ( σ ε = ij Var ；且 j P 與 ij ε 互相獨立。 若iY 為處理 1 ( = i i 、) 2 的n 個觀測值之均數，請推導求得 ) ( iY E 。（5 分） 請推導求得 ) ( iY Var 。（5 分） 若 j j j Y Y d 2 1 − = ， n j , 2,1 K = ，且d 為其均數，ds 為標準差。推導求得 ) (d E 。（5 分） 推導求得 ) (d Var 。（7 分） 在虛無假設 0 : 2 1 0 = −μ μ H 為真的情況下，請證明 ds n d 服從t 分配；並說明其自 由度。（13 分） 若將原前述模型改為 ij ij i ij P Y ε μ + + = 假設 ij P 為獨立的常態分配，其均數為 0 ) ( = ij P E ，變異數 2 ) ( P ij P Var σ = ；其餘符號 之表達及假設與前述相同。推導求得此模型下的 ) (d Var ；並比較此結果與題的差 異。（10 分） 104年公務人員高等考試三級考試試題 全一張 （背面）

常態分配（Normal distribution）其平均數為μ，變異數為 2 0 σ （已知），機率密度函數 為 ) 2 ) μ ( ( π 2 1 ) μ | ( 2 0 2 2 0 σ − − = x exp σ x f 。從中隨機抽取n 個隨機樣本， n X X X , , , 2 1 L ，且 假設μ的先驗分配（prior distribution）為常態分配而母體均數是 0 α ，變異數為 0 β ， 0 α 和 0 β 為已知的常數。試求： 求|x μ 的事後分配（posterior distribution）。（12 分） 利用損失函數為誤差平方，求μ的貝氏估計式（Bayes estimator）。（10 分）

假設X 代表麵粉價格，Y 代表蔥油餅的價格，若老闆想用麵粉價格來預測蔥油餅的價 格，即以Y 為反應變數，X 為解釋變數來進行簡單線性迴歸分析。以過去10 年所收 集的資料整理如下： 205 = x 120 = y 4464 = xx S 4858 = yy S 4330 = xy S 其中x 為X 的樣本平均數，y 為Y 的樣本平均數， xy S 為XY 的變異（variation）， xx S 為 X 的變異， yy S 為Y 的變異。 如使用上述資料建構一簡單線性迴歸模型 ε β β + + = X Y 1 0 ，ε 為隨機誤差項並滿足迴 歸分析之基本假設，請回答下列問題： 請問該預測模型的解釋能力判定係數（coefficient of determination）為何？（請列 式，中間計算過程請勿四捨五入，最後答案請四捨五入到小數第2 位作答。）（5 分） 請編製變異數分析（Analysis of Variance, ANOVA）表。（中間計算過程請勿四捨五 入，表格內最後答案請四捨五入到小數第2 位作答。）（10 分） 請根據的變異數分析表之結果，以顯著水準 05 .0 = α ，進行 0 : . 0 : 1 1 1 0 ≠ = β β H vs H 的檢定。（10 分） （請接第二頁） 104年公務人員升官等考試、104年關務人員升官等考試 104年交通事業公路、港務人員升資考試試題 代號： 21450 22150 22350 全五頁 第二頁 等 級： 薦任 類科（別）： 統計、經建行政、工業行政 科 目： 統計學

若 n Y Y Y , , , 2 1 K 為互相獨立且其機率密度函數如下： ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ > = − 其他 0 0 1 ) ; ( / y e y f y θ θ θ 推導求得θ 的最大概似估計（maximum likelihood estimator）。（10 分） 推導求得 ) 2 ( ≤ Y P 的最大概似估計。（5 分） 若 ) ,..., , min( 2 1 )1( n Y Y Y Y = 為最小順序統計量，推導求得 )1(Y 之分配。（10 分） 證明 )1( 1ˆ nY = θ 為θ 的不偏估計（unbiased estimator）。（4 分） 推導求得 ) ˆ ( 1 θ MSE （mean square error of 1ˆθ ）。（6 分）

隨機自某公司抽取7 個員工，他們每個月的薪水與儲蓄資料（單位：萬元）如下表 所列： 員工 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 薪資收入x 8 11 9 6 6 8 7 儲蓄y 1.5 2.2 1.6 0.7 0.8 1.3 1.0 迴歸係數（斜率）估計值為何？（6 分） 求迴歸係數（斜率）之估計標準誤（standard error of estimate）。（6 分） 求母體迴歸係數（斜率）之95%信賴區間。（6 分） 檢定 1 6 1 0 = + β β 之說法並解釋 1 6 1 0 = + β β 之意義。（ 05 .0 = α ）（10 分） 104年特種考試地方政府公務人員考試試題 全一張 （背面） 等 別： 三等考試 類 科： 統計 科 目： 統計學 附t 表 Critical Values of the Student t Distribution tA A

某汽車經銷商想要了解汽車顏色喜好和性別是否有關聯，基此進行市場調查，並將 得到的資料整理成如下之列聯表： 性別 喜好顏色 男 女 銀色 20 35 金色 33 32 紅色 30 20 黑色 32 28 請以顯著水準 05 .0 = α ，檢定汽車顏色喜好和性別是否有關聯？（15 分）

某研究者分別依據均勻（uniform）分配、標準常態（standard normal）分配和自由度 為8 的卡方（chi-square）分配等3 種機率分配，隨機產生3 組抽樣的資料，下列圖 ⑴~⑶分別是根據這3 組抽樣的資料所繪製而成的直方圖（histogram），圖⑷~⑹分別 是根據這3 組抽樣的資料所繪製而成的盒形圖（box plot）： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ 請問： 依據上述直方圖（histogram），您認為圖⑴~⑶的資料分別是來自那個機率分配隨 機抽樣產生？（6 分） 依據上述盒形圖（box plot），您認為圖⑷~⑹的資料依序分別是來自那個機率分配 隨機抽樣產生？（6 分） 在繪製盒形圖（box plot）時，除了最大值及最小值，是由那3 種統計量所繪製而 成？（3 分） 0 5 10 15 20 25 5 0 -5 3 2 1 0 -1 -2 -3 frequency 5 10 15 20 25 30 35 500 1000 1500 2000 0 0 0 -4 -2 2 4 500 1000 1500 2000 0 frequency frequency -2 -1 1 2 0 0 200 300 100 400 500 （請接第三頁） 104年公務人員升官等考試、104年關務人員升官等考試 104年交通事業公路、港務人員升資考試試題 代號： 21450 22150 22350 全五頁 第三頁 等 級： 薦任 類科（別）： 統計、經建行政、工業行政 科 目： 統計學 （請接第四頁） 104年公務人員升官等考試、104年關務人員升官等考試 104年交通事業公路、港務人員升資考試試題 代號： 21450 22150 22350 全五頁 第四頁 等 級： 薦任 類科（別）： 統計、經建行政、工業行政 科 目： 統計學 （請接第五頁） 104年公務人員升官等考試、104年關務人員升官等考試 104年交通事業公路、港務人員升資考試試題 代號： 21450 22150 22350 全五頁 第五頁 等 級： 薦任 類科（別）： 統計、經建行政、工業行政 科 目： 統計學 F 機率分配臨界值（α=0.05）表