統計 104 年抽樣方法考古題

假設F { } , , , 4 3

解釋下列名詞：（每小題5 分，共10 分） 機率抽樣（Probability Sampling） 非機率抽樣（Nonprobability Sampling）

某消防局為了瞭解平均每天多少人打電話進來報案，於是隨機抽樣30 天的電話紀 錄並且得到下表： 次數 0 1

1 u u u u = 是一個僅僅包含四個元素的小規模有限母體（finite population），而我們採用簡單隨機抽樣（simple random sampling）從母體F 之中抽出 樣本大小（sample size）為 2 = n 的樣本組合，那麼總共會有多少種不同的樣本組合？ 如果我們改用機率均等的隨機置回抽樣（sampling with replacement），那麼總共會有 多少種不同的樣本組合？如果母體F 之中四個元素的研究變數（study variable）值分 別為 1 1 = y 、

如果要以電話抽樣調查方式研究某縣市的生活狀況調查，請描述要如何進行抽樣工 作，才可以抽出一組簡單隨機樣本。（10 分）

2 = y 、 3 3 = y 、以及 9 4 = y ，那麼母體F 的母體平均數（population mean） 是多少？母體變異數（population variance）是多少？（5 分） 二、假設第一題之中從母體F 抽出簡單隨機樣本的樣本數據為1Y 與 2 Y （註：採用大寫英 文字母Y ，表示樣本數據皆為隨機變數）。我們分別使用下列三種不同的點估計量 （point estimator）來估計母體變異數 2 σ ： σ (1) 2 ෢ ∑ = − = n i i Y Y n 1 2) ( 1 ，σ (2) 2 ෢ ∑ = − − = n i i Y Y n 1 2) ( 1 1 ，σ (3) 2 ෢ ∑ = − − − = n i i Y Y n N N 1 2) ( )1 ( 1 ， 其中Y 為樣本平均數（sample mean）、N 為母體大小（population size）。 試計算以上三種估計量的抽樣分布（sampling distribution）與均方誤差（mean square error），並判別它們是否為不偏估計量（unbiased estimator）。（20 分） 假設我們改用機率均等的隨機置回抽樣，請重新判別三種估計量是否為不偏估計 量。簡答即可，無需計算或證明。（3 分） 三、假設某一間大學共有8000 位學生，其中2000 人為男生，6000 人為女生。同時，8000 位學生之中有7000 人屬於日間部，1000 人屬於夜間部。 我們打算採用分層隨機抽樣（stratified random sampling）之方法從8000 位學生之 中抽出 16 = n 位學生，來估計8000 位學生的平均身高。那麼應當依照男女性別來 分層，抑或依照日間、夜間部別來分層較為恰當？如果依據比例配置（proportional allocation）來進行抽樣，須要分別從各層抽出多少人？抽出樣本並取得樣本觀測值 之後，應如何估計8000 位學生的平均身高？另外，如果我們想要採用分層隨機抽 樣來調查8000 位學生的月平均收入（例如校外打工或兼差之收入），那麼應當依 照男女性別來分層，抑或依照日間、夜間部別來分層較為恰當？（8 分） 先前採用分層隨機抽樣來估計8000 位學生之平均身高的問題，如果依據尼門配置 （Neyman allocation）來進行抽樣，須要分別從各層抽出多少人？假設母體之中男 生層之身高的變異數為女生層之身高變異數的1.96 倍，日間部與夜間部學生身高 的變異數比例數為1.1。（8 分） 先前估計8000 位學生之平均身高的問題，如果我們改用事後分層（post-stratification） 之方法來抽樣與推估，那麼整個調查過程應該如何進行？從樣本配置的觀點來看， 事後分層可以被視為何種類型之配置？由於 16 = n 屬中小樣本，萬一發生空事後層 （empty post-stratum）之情形，應當如何處理或補救？（12 分） 104年特種考試地方政府公務人員考試試題 全一張 （背面） 等 別： 三等考試 類 科： 統計 科 目： 抽樣方法

請回答下列問題：（每小題5 分，共20 分） 何謂分層隨機抽樣？ 何謂事後分層法？ 何謂雙重抽樣法？ 請寫出三種方法之差異。

何謂雙重抽樣（double sampling）？試就分層隨機抽樣以及比值估計兩種情況分別說 明之，並寫出點估計量的數學式。（22 分）

請回答下列問題：（每小題5 分，共20 分） 分層隨機抽樣之每一層樣本的配置（Allocation），應注意那三項事情？ 何謂Deming’s Allocation（最優配置）？ 何謂Neyman’s Allocation？ 何謂Proportional Allocation？

天數 15 10 4 0 1 假設這是一個無限母體的問題，並且請根據上述表格回答以下的問題。 如果該消防局想估計一年365 天下來的總報案次數，請協助消防局提供這一項估 計值。（5 分） 請提供上述總報案次數之變異數的不偏估計值。（10 分） 請提供總報案次數之近似的95%信賴區間。（10 分） 二、某校有45 棵樹，為了方便管理，每一棵樹上都被貼上了一個編號，從「00」開始 一直編到「44」。該校有一條榕樹大道，大道上的榕樹排列及它們的編號分別是 04, 05, 07, 10, 15, 17, 19, 25, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 37, 39。現在該校某一位求知若渴 的學生希望引用「每5 個取1 個」的系統抽樣估計榕樹的比例。 請提供所有「每5 個取1 個」之系統抽樣的樣本編號。（5 分） 請提供題所抽中之樣本榕樹比例的抽樣分配。（10 分） 請證明樣本榕樹比例確實是真實榕樹比例的不偏估計量。（10 分） 104年公務人員高等考試三級考試試題 全一張 （背面） 三、以下資料為紐約與倫敦兩城市的日均溫紀錄（以華氏計）： 都市 紐約 倫敦 紐約 紐約 倫敦 紐約 紐約 氣溫 48 54 52 47 57 54 49 都市 倫敦 紐約 紐約 紐約 紐約 倫敦 紐約 氣溫 59 53 50 52 57 55 54 都市 倫敦 紐約 紐約 倫敦 紐約 紐約 倫敦 氣溫 68 49 51 61 55 53 50 請根據上述表格回答以下的問題。 如果挑選一組「4 個單元」的「取後不放回」隨機樣本「48, 47, 57, 52」，請提供 這一項抽樣設計之母體平均數的95%信賴區間。（10 分） 如果用地理位置把題意的母體切成「兩層」，然後每一層挑選一組「2 個單元」 的「取後不放回」隨機樣本，「52, 57」來自紐約，以及「57, 55」來自倫敦，請 提供這一項抽樣設計之母體平均數的95%信賴區間。（10 分） 計算「題的抽樣設計」比上「題的抽樣設計」的相對有效性。（5 分） 四、假設樣本來自某一個簡單隨機抽樣設計，而且樣本數與母體都夠大。已知以下三種 母體平均數之估計量的變異數： (E1) 2 1 1 ) ( y N n N n Y Var σ − − = (E2) [ ] y x xy r x r y ratio N n N n Y Var σ σ ρ μ σ μ σ 2 1 1 ) ( 2 2 2 − + − − = (E3) [ ] 2 2 1 1 1 ) ( y xy regression N n N n Y Var σ ρ − − − = 其中N 是母體規模（population size），n 是樣本規模（sample size）， 2 y σ 是母體Y 的變異數， 2 x σ 是母體X 的變異數， xy ρ 是母體X 跟母體Y 之間的相關係數， x y r μ μ μ / = 是母體Y 的母體平均數除以母體X 的母體平均數。 請證明以下比例的正確性並且下結論： (E1)/(E3)≥1。（10 分） (E2)/(E3)≥1。（10 分） 根據上述兩項結果，請問(E1)，(E2)及(E3)那一種估計量可以被認為「比較好」。 （5 分）

集群抽樣（cluster sampling）以及二階段集群抽樣（two-stage cluster sampling）與比 值估計有何關聯性？試就估計母體平均數之情況予以分別說明並寫出點估計量的數 學式。（22 分）

何謂重複系統抽樣（Repeat Systematic Sampling）？其使用時機為何？（10 分）

請計算下列問題：（每小題15 分，共30 分） 某一工廠所生產奶茶的包裝都是以12 包裝成一箱，現隨機抽取五箱，稱其每箱的重 量，得到下列的數據：120.0、120.1、120.0、120.5、119.7 公克。假設此工廠所生產 的奶茶數量相當龐大，試估計此工廠所生產的奶茶平均一包的重量及其變異數。 此工廠為因應市場不同的需求，目前所生產奶茶的包裝有以24 包、12 包及6 包裝 成一箱。此工廠每天所生產的奶茶箱數有1,000 箱，24 包的奶茶箱數是200 箱、 12 包的奶茶箱數是400 箱、6 包的奶茶箱數是400 箱。因每箱奶茶的重量與每箱 奶茶的包數有很大的正相關，故採用比例機率（pps）集群抽樣。現隨機抽取五箱， 分別取得24 包、12 包、12 包、6 包、6 包裝，稱其每箱的重量，分別得到下列的 數據：240.0、120.1、120.0、60.25、59.785 公克，試估計此工廠所生產的奶茶平 均一包的重量及其變異數。