統計 102 年抽樣方法考古題

某報關公司有兩位辦事員，小娟經手的憑證占70%，曉華經手的憑證占30%，審計 人員由原始憑證中簡單隨機抽出100 份，發現其中40 份是由小娟經手且有4 份錯 誤，剩餘60 份是由曉華經手且有12 份錯誤。估計該公司憑證有錯誤的比例及其變 異數，可利用⑴簡單隨機抽樣的公式及⑵事後分層法（post-stratification）。 利用方法⑴估計錯誤比例及其變異數。（有限樣本的校正係數1-f 可以忽略） （6 分） 何謂事後分層法？其使用的時機為何？用此法估計的錯誤比例為何？（12 分） 比較以上兩種估計法，何者較優？為甚麼？（4 分）

當蒐集少量數據時，其結果往往排列在一次數分布表。例如，有25 名學生交了考 卷，其分數可分為（0,1,2,3），其中3 是一個完美的得分。結果如下表： 分數(x) 頻率(F) 比例(p) 3 16 .64

某母體含有5 個抽樣單位，單位編號分別為A、B、C、D、E，其觀測值分別為 0、3、3、9、12。若使用抽出不放回方式（without replacement）抽出3 個抽樣單位。 試求母體之μ（population mean）及中位數M（population median）。（5 分） 對所有可能抽出之樣本組合，計算其−y （sample mean）。 −y （sample mean）是否為μ（population mean）的不偏估計量？（10 分） 對所有可能抽出之樣本組合，計算其m（sample median）。 m（sample median）是否為M（population median）的不偏估計量？（10 分）

假設某電話號碼簿有495 頁，今每隔20 頁抽1 頁做樣本，以估計電話號碼簿內電 話總個數。 從1 到20 抽取一個隨機數為起點，執行直線等距系統抽樣，共有多少種可能的 樣本？樣本大小為何？（5 分） 從1 到495 抽取一個隨機數，將此隨機數除以20，取其餘數作為起點（餘數為0 即代表20），然後每隔20 頁抽1 頁做樣本，這種抽樣方法與的抽樣方法有甚 麼區別？（5 分） 若採用環狀系統抽樣法（circular systematic sampling），應如何抽樣？共有多少 種可能的樣本？樣本大小為何？（6 分） 以上三方法，若都以簡單樣本平均數來估計母體平均數，則那些是不偏的估計？ （4 分）

4 .16 1 2 .08 0

某電信公司為了解大學生使用智慧型手機狀況，特地調查某一大學學生使用智慧型 手機比例，此一大學學生有10,000 人。 欲了解此一大學學生使用智慧型手機比例，在95%的信賴水準下，誤差不出±3% 的範圍，至少需隨機調查多少位學生？（5 分） 使用簡單隨機抽樣法抽出1,000 位學生，結果發現有450 位有使用智慧型手機， 試估計此一大學學生擁有智慧型手機人數的比例及其變異數？（10 分） 如果事先知道此一大學各學院學生使用智慧型手機的比例不一樣，則可使用分層隨 機抽樣法。設此一大學一共有三大學院，商學院占30%，社會學院占40%，其它 學院占30%。由其它大學調查經驗得知，約有50%商學院學生使用智慧型手機， 有35%社會學院學生使用智慧型手機，其它學院學生則有30%使用智慧型手機。 設抽樣調查費用在三學院均相同。如欲調查此一大學學生使用智慧型手機比例，在 95%信賴水準下，誤差不出±3%的範圍，至少須調查此一大學各學院多少位學生？ （15 分）

計程車公司抽樣檢查使用中的車輛中，輪胎達不安全標準的數量，由160 輛車隨機 抽出20 輛檢查，統計資料如下表： 不安全輪胎數 0 1 2 3

.12 說明如何使用頻率，計算出平均得分。（7 分） 說明如何使用比例，計算出平均得分。（7 分） 計算這些分數的標準差。（6 分） 二、在2013 年10 月從96 家工廠隨機選取10 家。下表列出此樣本中的每家工廠機器數 量M(i)和維修費Y(i)。 樣本(i) 1 2 3

甲百貨公司擬估計顧客在甲百貨公司中的平均購買金額。依據甲百貨公司過去的經 驗，差不多平均每天有10,000 個顧客會到甲百貨公司光顧。使用重複系統抽樣，抽 出10 個「500 取1」的系統樣本。得到下列10 個系統樣本的平均購買金額為3,750、 4,380、4,880、4,620、4,500、5,250、4,500、4,120、4,250、4,750（元）。試估計甲 百貨公司顧客平均購買金額及其變異數？（10 分）

車輛數 7 6 4 2 1 這種抽樣方法名稱是甚麼？與簡單隨機抽樣有何不同？（5 分） 估計該公司計程車輪胎達不安全標準的比例P 及其變異數。（10 分） 102年公務人員特種考試關務人員考試、102年公務人員特種考試稅 務人員考試、102年公務人員特種考試海岸巡防人員考試、102年公 務人員特種考試移民行政人員考試、102年特種考試退除役軍人轉 任公務人員考試及102年國軍上校以上軍官轉任公務人員考試試題 類(科)別： 關稅統計 全一張 （背面） 四、某加工出口區每年進行廠商出口金額調查，其廠商按公司登記，分為外資100 家 （h=1）與內資150 家（h=2）兩個分層。今年實施分層隨機抽樣，分別在兩分層調 查了10 家，15 家廠商，資料如下（單位：千萬元）： h X h X hx h y 2 xh s 2 yh s xyh s 外資h=1 4200 42 40 36 225 324 250 內資h=2 2400 16 18 15 81 121 90 其中 ， h X h X 分別是第h 分層的去年出口總金額及去年每家出口平均金額， hx ， 分別是第h 分層的樣本廠商的去年出口平均金額及其樣本變異數， 2 xh s h y ， 分別是 第h 分層的樣本廠商的今年出口平均金額及其樣本變異數， 是第h 分層的樣本 廠商去年每家出口金額與今年每家出口金額的樣本共變異數。現欲估計今年出口總 金額，請分別說明下列三種估計方法並計算之： 2 yh s xyh s 個別比率估計（separate ratio estimator）法。（6 分） 聯合比率估計（combined ratio estimator）法。（6 分） 個別迴歸估計（separate regression estimator）法。（6 分） 比較以上三方法的優劣。（10 分）

工廠的品管人員想估計主機板上的零件不良品之平均個數。由於主機板上的零件數目 不一，且零件不良品的個數與主機板上的零件數目有很大的正相關，故採用比例機率 集體抽樣法。由N = 10 的主機板群體中抽出n = 4 的主機板樣本。這10 個主機板（代 號依序為1 至10）的零件數目分別是10、12、22、8、16、24、9、10、8、31。然後 使用隨機數字表，抽出的主機板號碼代號分別是2、3、5 和7，且發現他們的零件 不良品的個數分別是1、3、2、1。試估計平均一個主機板的零件不良品的個數及其 變異數。（15 分） 102年公務人員高等考試三級考試試題 類 科： 統計 全一張 （背面）

崇信里有320 戶人家，分成20 個鄰，每鄰的戶數不同，今用二階段抽樣法調查居 民每戶每月伙食費支出。第一階段抽出5 個鄰，採抽出機率與每鄰的戶數成比例， 且抽出後放回的不等機率抽樣法，第二階段在這5 個鄰中各按簡單隨機抽樣法抽出 2 戶，調查樣本戶每月伙食費支出，結果如下表（單位：千元）： 第一階段樣本序號 1 2 3 4 5 計 每月伙食費 28,20 18,24 19,25 25,31 31,29 250 這種抽樣法與一般二階段抽樣法有何不同？有何優點？（5 分） 估計崇信里居民每戶平均每月伙食費及其變異數。（10 分）

公司主管欲估計新進秘書打字的正確率。今交代此位秘書打一份報告，一共有100 頁 一般A4 大小。 如果以「頁」為抽樣單位（考慮一頁中可能全頁均有打字或沒有打滿整頁的情 形），請問你會用何種抽樣方式來估計？（10 分） 如果以「行」為抽樣單位，請問你會用何種抽樣方式來估計？（10 分）

79 274.0 16 47 156.5

90 315.5 17 82 293.6

84 298.6 18 176 630.2 9 80 266.3 19 122 432.5 10 101 347.8 20 60 214.8 估計此區一戶的平均月支電費及其估計標準誤（the error of estimation）。（10 分） 估計此區居民的總電費及其估計標準誤。（10 分） 假設鄰近行政區的居民結構與此區相似，欲估計鄰近行政區總電費，在估計標準 誤為5000 千元情況下，請估算須抽取多少群集？（10 分） 102年特種考試地方政府公務人員考試試題 類 科： 統計 全一張 （背面） 四、某手機公司欲估計某款手機三個月（一季）的總營收，已知去年同季的各分店營收(xi)， 公司根據246 家分店，採簡單隨機抽樣抽取20 家分店，資料如下表：（單位：千元） 分店 上一年同季營收 (xi) 本年本季營收 (yi) 分店 上一年同季營收 (xi) 本年本季營收 (yi) 1 1500 1600 11 1350 1570 2 928 977 12 720 780 3 620 600 13 670 980 4 550 610 14 957 1020 5 1750 2210 15 610 710 6 1530 1710 16 1100 1450 7 1200 1440 17 1450 1560 8 729 865 18 800 920 9 1020 1030 19 780 850 10 980 1050 20 1300 1450 利用比例估計式及去年同季總營收(τx)=256400 千元，估算今年本季總營收(τy)和其 估計標準誤。（10 分） 利用比例估計式，估算分店的平均本季營收及估計標準誤。（10 分） 利用迴歸估計式，估算分店的平均本季營收及估計標準誤。（15 分）

9 10 M(i) 3 11 2 14 5 8 3 1 12 5 Y(i) 50 230 60 240 60 140 70 10 280 110 估計每台機器的平均維修費，並試求此估計值誤差的範圍。（10 分） 如果在所有的96 家工廠有710 台機器，估計96 家工廠的維修費總額，並試求此 估計值誤差的範圍。（10 分） 三、解釋下列名詞： 簡單隨機抽樣（Simple Random Sampling）（7 分） 分層抽樣（Stratified Sampling）（7 分） 系統抽樣（Systematic Sampling）（8 分） 群集抽樣（Cluster Sampling）（8 分） 102年公務人員升官等考試、102年關務人員升官等考試 102年交通事業郵政、港務、公路人員升資考試試題 等別(級)： 薦任 類科(別)： 統計 全一張 （背面） 四、假設某一家住房抵押貸款公司有N 個為期20 年貸款的連續順序編號。因為多年來 住房成本的上升，未付款餘額有普遍增加的趨勢。該公司希望估計此未償還餘額的 總金額。你應該使用系統抽樣或簡單隨機抽樣，為什麼？（10 分） 五、某一所學校，希望估計小學六年級學生閱讀考試的平均得分。學校的學生被分成 三群。快速學習者在群一，緩慢學習者在群三，其餘學生在群二。學校決定進行 分群，因為這種方法會降低考試分數的變異。六年級學生中的55 名學生在群一， 80 名學生在群二及65 名學生在群三。分層隨機抽樣的50 名學生按比例分配，並從 群一、群二及群三中產生簡單隨機樣本n1=14、n2=20 及n3=16。對此樣本學生測 試，其資料彙整如下： 群一 群二 群三 Ni 55 80 65 N=200 ni 14 20 16 ∑ jy 1116 1295 599 ∑ 2 jy 90328 86857 21217 iy 79.71 64.75 37.44 2 si 105.14 158.20 186.13 其中  Ni 代表群i 學生總數 ni 代表群i 學生樣本數 yj 代表學生j 的考試分數 iy 代表群i 學生考試平均分數 2 si 代表群i 學生考試變異數 估計小學六年級學生的平均得分，並試求此估計值誤差的範圍。（10 分） 估計小學六年級學生中群一與群二的平均分數之間的差異。是否群一的學生平均 而言比群二的學生明顯較好？（10 分）