統計 106 年抽樣方法考古題

請敘述問卷設計之原則。（15 分）

某人蒐集10 人每週運動次數資料，製成長條圖如下：（每小題5 分，共25 分）  試求各運動次數的比例。  試求此10 人之平均每週運動次數。  若將此10 人視為母體，試求母體變異數。  若將此10 人視為樣本，試求樣本變異數。  注意到題 與題 的計算方式不同，此差異讓樣本變異數為母體變異數的不偏估 計量。試說明何謂不偏估計量（Unbiased Estimator）。

市政府為了解市民對於在市內開設新的公立托兒所的看法，以簡單隨機抽樣法抽出 500位市民進行調查。根據調查結果得知：有260位反對在市內設立新的公立托兒所， 有230位贊成在市內設立新的公立托兒所，其餘沒意見。根據調查結果，市政府宣稱 超過半數的市民反對在市內開設新的公立托兒所。 試估計市民反對在市內設立新的公立托兒所的比例；且在95%的信賴水準下，估計 此次調查的誤差界限及說明是否同意市政府的宣稱。（15分） 在95%的信賴水準下，說明反對在市內設立新的公立托兒所的比例是否顯著高於贊 成在市內設立新的公立托兒所的比例？（10分）

何謂簡單隨機抽樣法？（5 分） 設一有限母體中有N 個元素，若自母體中以抽出不放回的抽樣方式，抽出n 個簡 單隨機樣本， n y y y , ... , , 2 1 ，請證明樣本平均數 n y y n i i ∑= = 1 的變異數 n N n N y Var 2 1 ) ( σ ⋅ − − = （ 2 σ 為母體變異數）。（10 分）

假定母體中有Ｎ個個體。我們現在要從中抽出n 個個體做為樣本。  試解釋如何以簡單隨機抽樣（Simple Random Sampling）進行抽樣。（6 分）  試解釋如何以分層隨機抽樣（Stratified Random Sampling）進行抽樣。（7 分）  採取分層隨機抽樣而非簡單隨機抽樣的可能理由為何？（7 分） 1 5

大方文創商品公司共有50 家分店，去年第1 季的營業額為3,950 萬元，為了解今年 第1 季的營運狀況，自50 家分店中抽出6 家分店調查，得各分店去年第1 季的營業 額（ ）及今年第1 季的營業額（ ）如下：（單位：萬元） i i 分店 1 2

臺灣自來水公司為了研究家戶用水行為，欲從家庭用水的水表資料檔中以抽樣方 式抽出1,000 戶來做家戶用水行為研究。在自來水公司的家庭水表資料檔中，各戶 都有一個專門的水表號碼，也有每個月的用水度數。為了減低用水量多寡的用水 行為差異，欲用用水度數分層，請敘述如何執行分層隨機抽樣。（5 分） 分層隨機抽樣之每一層樣本大小的配置（Allocation），應注意那三項事情？（5 分） 什麼時候需要採用雙重抽樣方法（Double Sampling）？（5 分）

0 1 0 1 2 3

若採用重複系統抽樣法（Repeated Systematic Sampling），在母體大小為N 中抽出 ns 個“k'取1”的系統樣本，可得ns 個樣本大小為n（ 'k N n = ）的系統樣本。若第i 個系統樣本為 k n i k i i y y y ′ − + ′ + ) 1 ( , ... , , ，令 n y y n j ij i ∑= = 1 ，（i = 1, 2, … , ns）為第i 個系 統樣本的平均數，請寫出母體平均數 ߤ̂ 的估計公式？及母體平均數估計式的估計 變異數Var ෢(ߤ̂)？（10 分） 若採用群集隨機抽樣法（Cluster Sampling），在母體大小為M 中先分成 N 個群集（cluster）（每一個群集之個數為m1, m2, … , mN， ∑= = N i i m M 1 ），再以群集 為抽樣單位，以簡單隨機抽樣法抽出n 個群集為一群集樣本，稱為群集隨機樣本。 若yi 表示第i 個群集中變數值的總和，請寫出母體平均數 ߤ̂ 的估計公式？及母體平 均數估計式的估計變異數Var ෢(ߤ̂)？（10 分） 在何種條件下，題及所述兩種抽樣法之母體平均數的估計值公式會相同？ （5 分） 106年特種考試地方政府公務人員考試試題 全一張 （背面） 等 別： 三等考試 類 科： 統計 科 目： 抽樣方法

在兩階段抽樣法中，第一階段先將母體分成N 個抽樣單位，以簡單隨機抽樣法抽出n 個抽樣單位，稱為第一抽樣單位。其次，將第一階段中的每一個抽樣單位分割成 Mi (i = 1, 2 , … , N)個抽樣單位，並從n 個第一抽樣單位以簡單隨機抽樣法各抽出 mi (i = 1, 2, … , n)個抽樣單位（ , , ... , , 2 1 i im i i y y y i = 1, 2, … , n），稱為第二抽樣單位， ∑= = N i i M M 1 ， N M M = ， ∑= = i m j ij i i y m y 1 1 。 在什麼情況下，兩階段抽樣法即為分層隨機抽樣法？（5 分） 在什麼情況下，兩階段抽樣法即為群集隨機抽樣法？（5 分） 若M 未知，請寫出母體平均數ߤ̂的估計公式及Var ෢(ߤ̂)的估計公式。（10 分） 若在第一階段中不以簡單隨機抽樣法抽出n 個抽樣單位，改以第i（i = 1, 2, … , N） 個被抽中的機率為M Mi（Two-Stage Cluster Sampling with Probabilities Proportional to Size, pps），請寫出母體平均數ߤ̂的估計公式及Var ෢(ߤ̂)的估計公式。（10 分）

0 1 2 3 4 人數 每週運動次數 人 數 106年公務、關務人員升官等考試、106年交通 事業鐵路、公路、港務人員升資考試試題 代號：21460 全一張 （背面） 等 級 ：薦任 類科（別） ：統計 科 目 ：抽樣方法 三、科學家對生長於某區域內的一種特殊蕨類的生長高度有興趣。該地區有下列10 株個 體，分別位於北、中、南三區，株高如下： 編號 1 2 3 4 5 6

ix 41 83 101 80 85 70 iy 63 121 97 110 83 101 試估計大方文創商品公司今年的營業成長率。利用比率估計式（ratio estimator）估 計公司今年第1 季的營業額，並求算其標準誤。（10 分） 試利用迴歸估計式（regression estimator）估計公司今年第1 季的營業額，並求算 其標準誤。（10 分） 試說明並評估那種估計式較佳。（5 分） 106年公務人員高等考試三級考試試題 全一張 （背面） 類 科：統計 科 目：抽樣方法 三、甲工廠共有15 部機器專門生產Ａ產品，每部機器每天生產Ａ產品的數量分別如下： 120、90、270、300、450、150、180、100、310、260、220、190、160、250、140。 品管部經理想要了解工廠每天生產出多少不良的Ａ產品，欲自15 部機器中抽出3 部 機器，再進行全面檢查。由於每部機器生產不良品的數量與每部機器的產能有高度 的相關。因此，品管人員依照各機器的產能，採用依大小成比例的機率抽樣法 （sampling with probabilities proportional to size, PPS）抽樣。 請在使用亂數表隨機取得的數字為2981、0607 及2215 的情況下，詳細說明如何 運用PPS 抽樣法抽出3 部機器為集群樣本。（10 分） 若抽出的機器分別為第6、7 及11 部，全面檢查後得知，其中不良品的個數分別 如下：6、9 及18。請估計工廠每天產出不良Ａ產品的總數，並求其變異數。（8 分） 如所述，請估計工廠每天產出不良A 產品的比例，並求其95%的誤差界限。（7 分） 四、某休閒度假村有3處住宿區，分別是靠海岸的海景小屋、沿山坡的豪華小木屋及溫馨 舒適大樓的精緻客房。其中海景小屋80間，豪華小木屋60間，以及精緻客房260間。 現度假村經理想了解住宿客人對度假村提供的服務是否滿意，擬進行一項調查計 畫。由於3處住宿區的位置及房價均有所差異，決定分區進行調查，調查費用因住宿 區房間的距離不同而不同，豪華小木屋分布範圍最大，所以調查費用最高。已知每 間海景小屋的調查費用為64元，每間豪華小木屋的調查費用為100元，而每間精緻客 房的調查費用為36元。根據去年調查的結果得知，豪華小木屋區有60%的客人表示滿 意，精緻客房區有80%的客人表示滿意，海景小屋今年才開始提供住宿服務，所以沒 有資料可參考。 若希望估計住宿客人滿意比例的信賴度為95%且誤差界限為0.05，則須調查多少間 海景小屋、豪華小木屋及精緻客房？此時調查總費用為何？（15分） 若調查總費用的預算為5,000元，則調查多少間海景小屋、豪華小木屋及精緻客房 才能使住宿客人滿意比例之估計式的變異數最小。（10分）

9 10 株高 9 10 11 5 6 6 7 12 12 15 區域 北 北 北 中 中 中 中 南 南 南  現在假設我們由北、中、南各以簡單隨機抽樣抽取1 株。假定我們抽得編號3、7、 10 的3 株，試依據這3 株的高度推估該種蕨類的平均株高。（5 分）  承題 ，假設我們已知北、中、南三區的母體變異數分別為 、 與2。試求題 中 統計量的變異數。（10 分）  承題 與題 ，試依據此分層隨機抽樣的結果，計算平均株高的95%信賴區間。 （10 分）  試就此案例分析採取分層隨機抽樣之優點為何？以及造就此優點之理由。（10 分） 四、某國可分為城市與鄉村兩個區域。下列為該國城市與鄉村地區每戶智慧型手機數相 關資料： 城市 鄉村 總戶數 10,000 40,000 抽樣戶數 n1 n2 樣本平均數 5 4 樣本標準差 3 2 假設各產品的母體皆呈常態分布：  現在假設吾人想知道全國每戶智慧型手機數的平均數。假設我們總共需抽取100 戶。試依據比例配置法（Proportional Allocation）決定n1 與n2。（5 分）  承題 ，假設我們知道城市與鄉村的母體標準差分別為1.5 與0.875。試改以尼曼 配置法（Neyman Allocation）決定n1 與n2。（10 分）  試說明在何種情況下，比例配置法與尼曼配置法之結果相同。（5 分）