統計 101 年抽樣方法考古題

試回答下列問題： 簡單隨機抽樣法（simple random sampling）有抽出放回（with replacement）與抽 出不放回（without replacement）兩種取樣方式，試說明這兩種取樣方式的優點。 （8 分） 試說明抽出放回的簡單隨機抽樣中有輔助變數的母體平均數之迴歸估計法。（8 分） 母體在何種安排下，一階段群集抽樣法（one-stage cluster sampling）所抽出的樣 本可由系統抽樣法（systematic sampling）來產生，舉例說明之。（9 分）

研究者想估計A 城之成年市民年所得（單位：百萬元），該市依街道等因素分成 53 個里，且已知A 城之成年市民總數為3,500 人。因經費及時間因素只能隨機抽出 5 個里作調查，調查結果如下表： 樣本 1

生態學家欲估計某地區某一稀有保育動物的總數（total）。 今欲估計該稀有保育動物的總數，試提出一合理的抽樣法與估計量。（8 分） 試證明您於小題所提出的估計量之不偏性是否存在。若不具有不偏性，請提出 另一種抽樣法與估計量並證明其不偏性。（12 分）

假設某一母體分兩層，已知第一層有 個抽樣單位，第二層有 個抽樣單位，因 此母體總抽樣單位數為 1 N 2 N 2 1 N N N + = 。現使用分層抽樣法（stratified sampling）來估 計母體中某種特徵值的平均數μ。每分層的變異數 與 已知，且相關數值如下： 現考慮從二層分別抽出 與 個樣本數，並 使用 2 2 2 2 1 S 2 S , 270 , 810 , 600 , 300 2 1 2 1 = = = = S S N N 1 n 2 n 2 2 1 1 ) / ( ) / ( y N N y N N yst × + × = 估計μ， iy 是代表第i 層樣本平均數，= i 1,2。 試推導 st y 的變異數 ) ( st y V 。（8 分） 若控制 5.1 ) ( ≤ st y V ，使用前述數據找出最少的樣本數與最佳的分層樣本組合 並滿足 。（17 分） ) , ( 2 1 n n 2 1 n n n + = 101年公務人員特種考試關務人員考試、101年公務人員特種考試 移民行政人員考試及101年國軍上校以上軍官轉任公務人員考試試題 代號：10470 類（科）別： 關稅統計 全一張 （背面） ) 50 (=

某項產品生產公司於全國設有50 個維修站。品管人員欲瞭解該產品送回維修站所 需的修復時間（以分鐘計），並採用二階段分層抽樣來估計其產品所需的平均修復 時間μ。此抽樣設計第一層與第二層均採用簡單隨機抽樣法（抽出不放回），故從 N 個維修站抽出 )

(= n M n , ,1 L 個維修站，再從每一抽到的維修站之 個維修產品中 抽出 個樣本數，觀察其所需的修復時間，i i i m = 。第二階段抽出的樣本平均數 與樣本變異數分別用 iy 與 表示，且已知母體總數 ，實 際抽出樣本的資料整理如下： n i si , ,1 , 2 L = 2700 1 = = ∑ = i i M M 50 抽出的維修站編號 i M i m iy 2 is 1 60 10 40 64 2 50 8 60 50 3 56 10 45 40 4 55 8 56 36 5 50 8 50 40 試提出平均修復時間μ 之不偏估計式μˆ 。（5 分） 證明μˆ 的不偏性。（8 分） 假設小題中μ 之不偏估計式有近似常態分配，使用表中數據建構μ 的近似95% 信賴區間。（註：在標準常態分配之下，1.96 至∞的機率為0.025）（17 分）

成年市民總數 80 125 42 50 67 成年市民年收入總數 9.6 12.1 4.2 6.5 5.2 試用二種方式來估計A 城之成年市民年所得。（10 分） 請依估計的準確度為選擇之依據，何種方式較佳？並請說明。（12 分） 二、若Y1, Y2, ….., Yn係自總數為N，平均數為μ ，變異數為 2 σ 之母體，以不放回之隨機 抽樣方法抽出的隨機樣本，且 n Y Y i i / 1 ∑ = = n ∀ 30 ≥ n ，試問： Y 是否為μ 之不偏估計量？其分配為何？（8 分） Var(Y )之不偏估計量為何？並說明所使用符號之意義。（5 分） 三、精英國中想要了解國二學生的英文閱讀能力，將國二學生依其英文考試成績高低分 成三組，各組人數依序分別為55、80 及65 人，並隨機抽出50 位同學為樣本，請 問： 採比例抽樣法各組應抽取幾位？（5 分） 測驗後各組成績結果如下表，試求國二學生英文閱讀能力的平均分數及變異數？ （12 分） 組別 1 2 3 測驗總分 1116 1295 599 測驗分數的變異數 105.14 158.20 186.13 學校擬在學期結束前，再做一次測驗。若各組選取每位學生作測驗的成本都相同， 且應試學生為60 位，則各組應抽取多少位學生作測驗？（12 分） 101年公務人員高等考試三級考試試題 類 科： 統計 全一張 （背面） 四、A 工廠生產電子產品的電路板，每50 塊裝成一箱，每塊有35 個晶片。品管人員由 生產完成之12 箱中隨機抽出一箱，再由該箱中隨機抽出10 塊，檢測後發現晶片有 缺陷的個數分別是3、2、0、1、4、3、0、0、1、2。試估計該箱中有缺陷的晶片總 個數，並求變異數？若品管人員再隨機抽一箱電路板做檢測，希望缺陷晶片總個數 的容忍誤差為30 個且信賴度為90％，請問從該箱電路板中，應抽出幾塊做檢驗？ （24 分） 五、若分別採用系統抽樣法與簡單隨機抽樣法所得樣本資訊估計母體平均數μ 作估計， 請依母體資料與其次序之情況，對估計量之特性（如不偏性，相對有效性……）， 比較說明何者較佳？為什麼？（12 分）

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平均員工人數 12 10 4 30 2 . sx = ， ，

14 2 . sy = 2. 19 = xy s 根據2011 年30 家回收業者全查結果得到總員工人數為540 人（即 ）。 540 30 1 = ∑x 請利用比率估計法（Ratio Estimation）、簡單均數估計法（Mean per unit，或 Simple mean per element）、迴歸估計法（Regression Estimation）估計2012 年國 內主要回收業者（30 家回收業者）之總員工人數並求算標準誤。（30 分） 根據之結果，你認為那個估計式比較好？說明為什麼？（5 分） 二、某大學欲了解其學生需要助學貸款的比例，該校共有24 個科系。為了節省成本， 校方打算採用兩段群集抽樣法（two-stage cluster sampling）抽出4 個科系，每個 被抽出的科系抽出10%的學生，調查結果需要助學貸款的學生人數如表2：（25 分） 表2 抽樣調查結果需要助學貸款的學生人數 單位：人 科系 i 該科系 總學生人數 Mi 抽出的 學生人數 mi 需要助學貸款的 學生人數 ai 1 500 50 5 2 600 60 20 3 1000 100 50 4 900 90 30 Total 3000 試估計該大學學生需要助學貸款的比例，並求算該估計值之標準誤。 101年特種考試地方政府公務人員考試試題 代號： 類 科： 統計 全一張 （背面） 31550 三、某大學欲了解其大學畢業生的起薪，採用分層隨機抽樣法，依學院別分成三層。各 學院畢業生人數Ni及根據過去調查所求得這三學院的畢業生起薪之標準差Si（以月 計）分別列於表3。（20分） 表3 某大學畢業生母體概況 層別（學院） 商學院 文學院 法學院 起薪標準差（萬元） S1=5 S2=6 S3=3 畢業生人數（人） N1=1000 N2=400 N3=600 若總共要抽出200 個畢業生為樣本（n=200） 採用尼曼配置法（Neyman allocation）各層應配置多大的樣本？ 採用比例配置法（Proportional allocation）各層應配置多大的樣本？ 四、接續前一題，若自每學院各隨機抽取50 個畢業生，調查其起薪（以月計），調查 結果得到各學院畢業生起薪之均數及標準差，列於表4。（20 分） 表4 各學院畢業生起薪之均數及標準差 i N in 層別（學院） i 起薪均數 （萬元） ix 起薪標準差 （萬元） is 商學院 1000 50 4 6 文學院 400 50 2 7 法學院 600 50 5 3 試估計該大學畢業生的平均起薪，並求算該估計值之標準誤。