統計 100 年抽樣方法考古題

解釋下列名詞： 二階段群集抽樣（two-stage cluster sampling）（8 分） 分層雙重抽樣（double sampling for stratification）（8 分） 設計不偏性（design unbiasedness）與模式不偏性（model unbiasedness）（9 分）

某國中一年級學生1500 人，其中男生占百分之六十。該校教務處由一年級學生依性 別分層隨機抽樣進行一項數學能力測驗。15 位男學生與10 位女學生分數如下表所示， 且男學生之平均分數為88 與標準差為3.61；女學生之平均分數為81 與標準差為6.39。 分 數 男學生 92 88 90 86 90 90 91 83 88 89 91 89 86 89 78 女學生 79 86 82 80 85 83 90 75 67 83 試求全校一年級學生平均分數之估計值與95%信賴區間？（10 分） 估計全校一年級學生總分。（5 分） 何謂分層隨機抽樣？（5 分）

某母體含有N 個抽樣單位（sampling unit），其觀測值經排序為 N Y Y Y ≤ ≤ ≤ L

假設海關抽檢人員欲對某進口物品使用抽出不放回的簡單隨機抽樣（simple random sampling without replacement）抽驗物品中某一特徵值。已知母體總數N=6400 且母 體的變異數σ 。抽檢人員欲決定最少的樣本數n以滿足抽出的樣本平均值X 與 母體平均值μ 之差異小於2（即| 2 | −μ < X H ）的機率大於或等於0.95。試求以下兩 種情況的最少樣本數n。 樣本平均值的機率分配，可使用常態分配。（註: 表示在標準常態分配 之下， 至∞的機率為0.025。）（10 分） 96 .1 025 .0 = z 96 .1 樣本平均值的機率分配，不可以近似或使用常態分配。（15 分）

某國中2500 名學生，男女混合編成100 班，每班25 名學生。學校調查學生是否過 度上網：每天平均超過二小時。為此，隨機選出30 班，對這些班上每位學生調查。 下列數據是這30 班被認定過度上網之學生人數： 7 11 10 7 4 8 5 8 10 5 4 3 9 3 4 8 2 8 6 7 5 8 5 9 8 7 12 6 4 6 請問此抽樣法是否為單一階段群集抽樣（one-stage cluster sampling）？為什麼？（5 分） 估計全校學生過度上網之比例？（7 分） 估計在中之比例估計量之變異數？（8 分）

1 ， 為已知且相對非常小。使用簡單隨機抽樣法（抽出不放回），抽出n 個抽樣單位， 得到樣本平均數 1Y y ，現使用調整樣本平均值 1y 來估計母體平均數，定義 ⎩ ⎨ ⎧ + = 1 1 1 , , Y y Y a y y 樣本中不包含 樣本中包含 ，此處a 為大於0 的固定常數。 計算樣本中不包含 的機率。（5 分） 1Y 試求 1y 的期望值。（5 分） 試求 1y 的變異數。（10 分） 試評估 1y 與y 何者較佳。（5 分） 二、某一母體由16 個抽樣單位組成，抽樣單位的觀測值如下： 2

假設某母體有N=10 個抽樣單位，已知每一個抽樣單位被抽出的機率不相等且所有 抽樣單位有不同的觀測值。今使用不相等機率抽樣（unequal probability sampling） 並採取抽出放回（with replacement）的方式進行。現使用Horvitz-Thompson 估計量 T θˆ HT ，估計母體總數θ 並從母體中抽取n=3 個抽樣單位，得知觀測值( 與對應 的抽出機率 分別為 ) iy ) ( ip 20 1 = y ， 2.0 1 = p 30 2 ； = y 1.0 2 = p 20 3 ， ； = y 2.0 ， 3 = p （ 與 被重複抽出）。 1y 3 y  HT θˆ 是否具有不偏性。（5 分） 使用前述抽樣資料，計算 HT θˆ 所對應的數值。（10 分） 若 ) ˆ ( HT V θ 代表 HT θˆ 的變異數，計算 ) ˆ ( HT V θ 不偏估計量所對應的數值。（10 分） 100年公務人員特種考試海岸巡防人員考試、100年公務 人員特種考試關務人員考試、100年公務人員特種考試稅 務人員考試、100年特種考試退除役軍人轉任公務人員考 試及100年國軍上校以上軍官轉任公務人員考試試題 類(科)別： 關稅統計 全一張 （背面）

一項針對老年人口比例之研究由5 個村里隨機抽取2 村，以估計老年人數占母體總 人數之比率（Ratio）。假設母體資料如下： 村里 村里人數 老年人數 1 120 20 2 135 27 3 80 16

假設一母體含有N=2000 個抽樣單位，現將母體分成不重疊的4 層，其中第h 層有 個抽樣單位。今從各層中採用簡單隨機抽樣（抽出不放回）分別抽出百分之十的 樣本數( )，得到第h 層的樣本平均值 h N h n ) ( h y 與樣本變異數 ，如下表： ) ( hs2 h(層) h N h n hy 2 hs 1 1000 100 4 1 2 600 60 3 2 3 300 30 2 3 4 100 10 1 4 若 st y 代表上述分層隨機抽樣的母體平均值估計量，試求 st y 的變異數之不偏估計 值。（10 分） 若上述分層抽樣所得到的資料，視為使用簡單隨機抽樣（不分層）所取得，以y 代表此抽樣的母體平均值估計量，試計算此時y 的變異數之不偏估計值。（15 分）

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有一組調查資料，想要了解此資料的準確性。此份資料共計40 筆，乃依其姓氏作 排序，將採用系統抽樣的方式作調查。其資料情況如下： 次序編號： 1-11 12-20 21-28 29-40 有錯誤資料的編號： 1-4 12-14 21-25 29-32 使用每隔十個取一的系統抽樣法，估計此資料的錯誤比例及其估計誤差。假設第 一個被抽出的隨機數是3。（10 分） 若使用每隔二十個取一的系統抽樣法，假設被抽出的隨機數是3 與16，估計此資 料的錯誤比例及其估計誤差。（6 分） 六、某地區舉行家計調查，其相關資料如下： 層別 行業 戶數 i N 每戶調查費 元 ic 標準差 每年平均支出(元) I 公務員 2,400 10 730 7,250 II 農業 15,400 20 850 6,530 III 工業 3,300 14 930 8,420 IV 商業 4,900 12 1,450 16,200 要求 ( ) 5.0 = st y Var ，用最佳配適（optimal allocation），則總樣本數n及各層樣本 數nk各為多少？（8 分） 同樣要求 ( ) 5.0 = st y Var ，若為紐曼配適（Neyman allocation），則n及nk各為多少？（ 8 分） 96 .1 025 .0 = Z , 64 .1 05 .0 = Z , 28 .1 1.0 = Z

160 18 試求比率估計量之抽樣分配？（10 分） 請問比率估計量是否為母體比例之不偏估計值？請證實。（5 分） 100 年公務人員升官等考試、100 年關務人員升官等考試試題 代號：31460 類 科： 統計 全一張 （背面） 四、研究人員為了解年長者裝假牙之比率（Ratio），乃針對70 歲以上年長者裝整口假牙 之抽樣調查，由5 個村里隨機抽取3 村。若此5 村里母體資料如下： 村里 年長者人數 整口假牙人數 1 240 20 2 360 40 3 280 32 4 225 25 5 385 34 則請問： 比率估計量之抽樣分配為何？（10 分） 比率估計量之期望值與標準差？（10 分） 比率估計量之均方誤（mean square error）？此比率估計量是否為不偏？（5 分） 五、某國小保健室估計今年學生蛀牙之比例。全校共有2000 名學生，現由學生名單採簡 單隨機抽樣任取100 名，檢查發現有蛀牙者20 名。 估計全校學生蛀牙比例估計量抽樣分配之變異數。（10 分） 歷年調查顯示全校學生蛀牙比例約百分之二十五，若要求在95%信心水準下調查之 估計誤差不超過百分之八，則應抽取多少學生？（10 分）

9 10 11 12 16 17 19 20 25 30 30 35 使用分層隨機抽樣法（stratified random sampling），估計母體平均值。將上述母體 16 個抽樣單位分為四層，使得母體平均值的估計式具有最小變異數（minimum variance）。（12 分） 使用系統抽樣法（systematic sampling）從1 至4 的數字中隨機選出一數字，抽出 四個抽樣單位，以估計母體平均值。將上述母體16 個抽樣單位重新安排次序， 使得母體平均值的估計式具有最小變異數。（13 分） 三、某經銷商於全國20 個據點中，共有1200 家店，每個據點的店家數皆超過10 家。 該經銷商管理部門欲估計本季有多少比率的店家，其銷售額未達規定。管理部門今 從20 個據點中，以簡單隨機抽樣法（抽出不放回）抽出5 個據點，再於各據點以 簡單隨機抽樣法（抽出不放回），抽出該據點內五分之一的店家數，記錄未達規定 銷售額的店家數。資料整理如下： 據點編號 店家數 抽出店家數 未達規定銷售額的店家數 1 40 8 2 2 20 4 1 3 80 16 4 4 50 10 2 5 50 10 1 試求未達規定銷售額的店家比率之不偏估計值。（10 分） 試求在小題中不偏估計式的估計變異數。（15 分） 100年公務人員高等考試三級考試試題 類 科： 統計 全一張 （背面） 四、某母體含有5 個抽樣單位，由於各抽樣單位彼此間差異性大，因此採用不相等機率 抽樣（unequal probability sampling）。被抽到的抽樣單位所對應的機率與觀測值如 下： 抽樣單位編號 1 2 3 4 5 被抽到的機率 0.2 0.1 0.2 0.1 0.4 觀測值 3 2 5 3 9 使用抽出不放回（without replacement）的方式，抽出2 個抽樣單位，因此樣本數 。 2 = n 試求樣本中，包含編號1 與5 的機率。（5 分） 若抽到的樣本含編號1 與5，試求母體總數的不偏估計值。（10 分） 試求小題中的不偏估計式之估計變異數。（10 分）