統計 108 年抽樣方法考古題

將5 個大小質量皆相同的球，分別編號為1, 2, 3, 4, 5，且將其放入袋中。 現以簡單隨機抽樣法一次抽取2 個球。 設 i X 為第i 個球之編號，

欲以估計式（estimator）θˆ來估計有興趣的參數（parameter）θ ，請說明 選取樣本的相關程序。（10 分）

臺灣地區有525 家IC 設計公司，其中有5 家公司規模特大。為了估計 臺灣地區IC 設計產業的總員工人數Y，除了將5 家特大IC 設計公司調 查其員工人數得 , ,…, 以外，另以簡單隨機抽樣法（不歸還）從 剩餘的520 家IC 設計公司中抽出20 家公司為樣本，調查其員工人數得 , ..., 。現欲採用下列兩種估計式以估計臺灣地區IC 設計公司之 總員工人數Y： 1 y y y y y

,1 = i ， 2 2 1 X X X + = 。 求X 之抽樣分配。（10 分） 驗證X 是否為母體平均數µ 的不偏估計式。（5 分） 說明X 的變異數與母體變異數 2 σ 之間的關係。（10 分） 二、為了解學生平時打工情形，A 大學特地進行下列調查計畫。已知A 大學 共有100 個班級，現自100 個班級中隨機抽出5 個班級，再由這5 個班 級中隨機抽出部分學生，調查每位學生每星期打工時數（ ijy ），得到如 下資料： 班級學生人數 i M 抽樣學生數 i m i m j ij i m y y i ∑= = 1 1 ) ( 1 2 2 − − = ∑= i m j i ij i m y y s i 50 5 29 15 78 8 15 9 62 6 20 22 71 7 35 20 39 4 45 18 請問這是何種抽樣方法？（5 分） 請估計每位學生每星期的平均打工時數，並求算其95%誤差界限。 （10 分） 若已知A 大學學生總人數為5880 人，請估計每位學生每星期的平均 打工時數，並求算其95%信賴區間。（10 分）

若利用集群抽樣（cluster sampling）法，進行抽樣並估計母體的平均數µ。 （每小題10 分，共20 分） 請說明第一步驟分集群（cluster）的原則及注意事項為何？ 若母體共分為N 個集群，請說明如何運用集群抽樣法選取樣本，並估 計母體的平均數µ。

5 6 25 ∑ = = 25 1 1 25 525 ˆ i iy Y , ∑ ∑ = = + = 25 6 5 1 2 20 520 ˆ i i i i y y Y 試證 及 是否皆為Y 之不偏估計式。（6 分） 1ˆY 2ˆY 請分別寫出 及 之均方誤差（Mean Square Error；MSE）的定義。 （4 分） 1ˆY 2ˆY 又已知5 家特大IC 設計公司員工總人數為5,062，而其他520 家IC 設計公司員工總人數為60,320；其他520 家IC 設計公司之員工人數 的平方和為11,842,980。試利用上列資料求估計式 及 的均方誤差 之值，並請說明估計Y 時，那一個估計式較好？（4 分） 1ˆY 2ˆY 二、自來水公司想調查臺中市某區住戶在108 年1~3 月的用水情況，該區共 有N=20,000 戶，今以簡單隨機抽樣法調查了n=800 戶，得到下列統計 資料： 5. 22 = y 噸， 噸，有320 戶用水總量超過了規定的用量標準。 36 = s 請估計該區住戶在108 年1~3 月的總用水量Y 及其該估計之95%的信 賴區間。（6 分） 請估計該區在108 年1~3 月的總用水量超過了規定的用量標準的住戶 數T。（6 分） 又自來水公司想在6 月份再做一次該區住戶用水總量的抽樣調查，若 要求在95%水準下估計的相對誤差不超過10%，則應該抽多少樣本 （戶）才能達到上述之要求？（6 分）

甲社團的團長欲了解該團團員每月花費多少的交通費用，已知甲社團共 有團員205 位，利用團員通訊錄的資料，採10 取1 的系統抽樣法，調 查得21 位團員每月的交通費用（yi, i=1, …, 21）如下： （每小題10 分，共20 分） 2030, 1720, 1850, 2210, 2150, 2370, 2000, 1930, 1570, 1910, 2380, 2540, 1720, 1900, 2200, 2100, 1860, 1800, 2050, 2420, 2090 估計甲社團團員每月的平均交通費用，且求算此平均交通費用的95% 信賴區間。 採用連續的差數（successive differences），di= i i y - y 1 + (i=1, …, 21)，估 計甲社團團員每月的平均交通費用的變異數。同時比較、這兩種 估計變異數方法的準確度，說明何種估計方法較合適。

假設母體的元素總個數為N，現欲估計母體的平均數µ。（每小題10 分， 共30 分） 請說明如何以簡單隨機抽樣（simple random sampling）法，自母體中 抽出一組樣本大小為n 的樣本，並求母體平均數µ的估計式y 。 請說明如何以系統抽樣（systematic sampling）法，自母體中抽出一組 樣本大小為n 的樣本，並求母體平均數µ的估計式 sy y 。 說明上述兩種抽樣法，每組樣本被抽出的機率；且比較估計式y 與 sy y 的變異數的大小。

若一母體共分為三層，其中各層母體大小分別為 =300， =600 與 =100。根據過去的調查結果知道這三層的母體標準差分別為 1 N 2 N 3 N 1 σ =150， 2 σ =75 與 3 σ =100。 若調查總預算（C）只有20,000 元，又固定成本（ ）為2,000 元，每一 層調查單位成本均相同為50 元，即 元，我們想以分層隨機 抽樣法估計式 0c 50 3 2 1 = = = c c c st y 估計母體平均數μ，試依紐曼配置（Neyman Allocation） 法，求滿足要求之總樣本大小n 及各層所需之樣本大小（i = 1,2,3）分別 為若干？（10 分） in 若我們想以分層隨機抽樣法估計式 st y 估計母體平均數μ的95%的誤差 界限不超過B=20，試依紐曼配置法，求滿足要求之總樣本大小n 及 各層所需之樣本大小（i = 1,2,3）分別為若干？（10 分） in

社會學者欲研究甲城市年齡65 歲以上的老年人口狀況。現依地理位置 將甲城市劃分為80 個區域，自此80 個區域中，以簡單隨機抽樣法，抽 出6 個區域，調查每個區域的居民人數及年齡65 歲以上的老年人口數。 得調查資料如下：（每小題10 分，共30 分） 區域 1 2 3 4

某公司之人力資源部門想了解該公司銷售部門員工每年請病假的情 形。已知銷售部門員工人數眾多共分為三群，其中50%為業務人員、 40%為業務主任及10%為業務經理。現自各群中隨機抽出部分員工， 調查其每年請病假天數，及病假天數超過1 星期的人數，得如下資料： （每小題10 分，共40 分） 員工 調查人數 平均數 標準差 病假天數超過 1 星期的人數 業務人員 1350 6.13 0.16 135 業務主任 1085 5.05 0.21 76 業務經理 175 6.18 0.38 14 請估計銷售部門員工每年平均病假天數，並計算其95%的誤差界限。 在95%的信賴水準下，說明業務經理每年平均病假天數是否顯著大於 其他兩群員工？ 請估計銷售部門員工每年病假天數超過1 星期的比例，並計算其95% 的誤差界限。 在95%的信賴水準下，說明業務人員每年病假天數超過1 星期的比例 是否顯著大於其他兩群員工？

某市轄區有N = 250 個里，共有M = 16,800 戶。今電力公司營業處想估 計該市每戶裝置冷氣機之平均台數 Y μ ，以簡單集體抽樣法自該市隨機抽 出10 個里進行調查，得如下調查資料： 里 （集體） 戶數 （ ） i M 該里住戶裝 置冷氣機之 總台數（yi） 里 （集體） 戶數 （ ） i M 該里住戶裝 置冷氣機之 總台數（yi） 1 150 480 6 120 216 2 72 252 7 50 240 3 80 440 8 100 230 4 90 162 9 71 213

125 200 10 42 252 註：上述調查資料經計算得∑ ， ， ， ， ，在簡單集體抽樣法下，電力公司營 業處利用 900 M 10 1 i i = = 514 , 91 M 10 1 i 2 i = ∑ = 685 ,2 y 10 1 i i = ∑ = 777 , 819 y 10 1 i 2 i = ∑ = 551 , 251 y M 10 1 i i i = ∑ = ∑ ∑ = = = 10 1 i i 1 i M y 10 i C1 y ， ∑ = = 10 1 i i C2 y n 1 M N y ， ∑ = = 10 1 i i C3 y n 1 y 等3 個估計式 （其中 i i i M y y = ）來估計該市每戶裝置冷氣機之平均台數 Y μ 。則： 試以 C1 y 、 C2 y 、 C3 y 來估計該市每戶裝置冷氣機之平均台數 Y μ ，則 Y μ 估 計值分別為何？（9 分） 若以估計式 C1 y 估計 Y μ ， 則該估計在95%的信賴度下，其最大可能估 計誤差界限B 為何？（9 分） 請根據上述調查資料，試分別求 C1 y 、 C2 y 、 C3 y 等3 個估計式的估計變 異數 3,2,1 i ), y ( Vˆ ci = 之值為何 ? 並請說明哪一個估計式在估計 Y μ 時有 較好的估計效率？（6 分） 五、某市政府之行政區按區域別分為南區與北區，該市人事長想了解該市職 工去年上半年（1~6 月份）與今年上半年（1~6 月份）因生病請假時數 之變動比率，分別自南、北兩區各以簡單隨機抽樣抽出100 名職工進行 調查，得相關統計資料如下： 區域別 職工總數 ( )(人) i N 樣本數 ( )(人) in 去年上半 年樣本平 均數( i X ) 今年上半 年樣本平 均數( iY ) 去年上半 年樣本標 準差( ) i X S 今年上半 年樣本標 準差( ) i Y S 去年與今年上 半年樣本相關 係數 ( i XY ρˆ ) 1（南區） 1,000 100 18.0 18.9 10.0 10.36 0.9841 2（北區） 1,500 100 7.5 4.8 5.45 3.50 0.5576 其中： 設 ：去年上半年第i位職工因生病請假的時數； i X iY ：今年上半年第i位職工因生病請假的時數； i X ：去年上半年因生病請假的樣本平均時數； iY ：今年上半年因生病請假的樣本平均時數； Xi S ：去年上半年因生病請假時數的樣本標準差； Yi S ：今年上半年因生病請假時數的樣本標準差； i XY ρˆ ：去年與今年上半年因生病請假的時數的樣本相關係數。 又已知去年上半年（1~6 月份）南區職工因生病請假的總時數 300 , 16 1 = X τ 小時，北區職工因生病請假的總時數 800 , 13 2 = X τ 小時。根據上述資料： 試估計該市南區職工去年上半年（1~6 月份）至今年上半年（1~6 月 份）因生病請假的時數之變動比率R 為何？又在95%的信賴度下，其 最大可能估計誤差界限B 為何？（6 分） 對於之估計問題，若要求在95%的信賴度下，其最大可能估計誤差 界限B 不超過0.02，試問應抽出多少樣本才足夠？（6 分） 試以比率估計（ratio estimation）估計該市南區職工今年上半年（1~6 月份）因生病請假的平均時數 1 Y μ 及該市北區職工今年上半年（1~6 月 份）因生病請假的平均時數 2 Y μ 。（6 分） 若視上述調查資料為分兩層（南區及北區），利用分層隨機抽樣法調 查所得，請你幫忙該市人事長用層別比率估計式（separate ratio estimator）估計該市2,500 位職工今年上半年（1~6 月份）因生病請假 的平均時數 Y μ 。又其在95%的信賴度下，其最大可能估計誤差界限B 為何？（6 分）

居民人數 85 37 49 50 34 45 65 歲以上的老年人口數 15 8 12 11 8 12 估計甲城市年齡65 歲以上的老年人口比例，且計算此比例的95%誤 差界限。 估計甲城市年齡65 歲以上的老年人口總數，且求算此總數的95%信 賴區間。 現透過戶政資料，得知甲城市居民總數為4250 人，試利用此資料估 計甲城市年齡65 歲以上的老年人口總數，並比較、這兩種估計 方法那一種較適合。