統計 108 年統計學概要考古題

令隨機變數X 為具有期望值等於µ ，變異數等於

某藥廠想知道肝癌病人服用新藥半年後是否可以有效降低肝癌指數 （GOT），自肝癌病人群中隨機抽取8 人，記錄其服用新藥前和新 藥服用半年後的GOT。肝癌病人GOT 如表所示。 肝癌病人 1

σ 的常態分配。 若X 的第20 百分位數（the 20-th percentile）為2.5，第60 百分位 數（the 60-th percentile）為5.5，試求µ 及σ 。（5 分） 從上述常態分配之母體隨機抽取4 個樣本，並計算其樣本平均數。 試求樣本平均數大於 σ µ + 的機率為何？（7 分） 從上述常態分配之母體隨機抽取1 個樣本，若此樣本與平均數的距 離小於σ，則可以獲得1 元的獎金；若此樣本與平均數的距離介於σ 至σ 2 之間，則可以獲得100 元的獎金；若此樣本與平均數的距離 大於σ 2 以上，則可以獲得1000 元的獎金。試計算期望獲得的獎金 為何？（8 分） 二、假設隨機變數 1 X 與 2 X 的聯合機率質量函數（joint probability mass function）為    = = + = 其他 0

,2 ,3 ,2 ,1 ) 2 ( ) , ( 2 1 2 1 2 1 x x x x k x x f 試求k 值。（5 分） 試求機率 ) ( 2 1 X X P ≥ 。（5 分） 試求 1 X 與 2 X 的共變異數（covariance） ) , ( 2 1 X X Cov 。（10 分） 三、欲了解民眾對於不同品牌手機的偏好情況，針對不同性別進行最喜歡的 手機品牌調查，得到人數資料如下表所示。（每小題10 分，共20 分） 最喜歡的手機品牌 A B C D 性別 男 49 44 49 39 女 41 46 36 44 試檢定男生對於四種品牌的手機偏好程度是否相同。（ 05 .0 = α ） 試檢定性別與最喜歡的手機品牌是否有關。（ 05 .0 = α ）

蒐集自變數X 與應變數Y 的資料，並將結果整理如下： （每小題10 分，共20 分） 460 10 1 = ∑ = i ix ， 23634 10 1 2 = ∑ = i ix ， 760 10 1 = ∑ = i iy ， 59816 10 1 2 = ∑ = i iy ， 36854 10 1 = ∑ = i i i y x 試求X 與Y 間的相關係數，並檢定母體相關係數是否為0。 假設迴歸模型為 i i i X Y ε β β + + = 1 0 ，試求最小平方迴歸線，並檢定 模型是否顯著。（ 05 .0 = α ）

分別自兩個獨立的常態母體抽取樣本，得到樣本資料如下表所示。 （每小題10 分，共20 分） 母體 樣本數 樣本平均數及樣本變異數 ) , ( 2 1 1 σ µ N 15 65 .0 ,5.6 2 1 1 = = s x ) , ( 2 2 2 σ µ N 10 75 .0 ,9.5 2 2 2 = = s x 試檢定兩個母體的變異數是否相同。（ 05 .0 = α ） 試檢定兩個母體的平均數是否相同。（ 05 .0 = α ）

新藥服用前的GOT 45 60 120 200 150 100 80 50 新藥服用半年後的GOT 30 30 80 150 120 100 20 20 請問這兩群（新藥服用前的GOT 和新藥服用半年後的GOT）是相 依還是獨立？請說明原因。（5 分） 試檢定新藥服用半年後是否可以有效降低GOT，顯著水準0.05。 （10 分） 試檢定新藥服用半年後之GOT 是否比服用新藥前之GOT 平均至少 可以減少30，顯著水準為0.05。（10 分） 上述檢定結果若可信賴，則數據之假設條件為何？（5 分） 二、令A、B、C、D 及E 表示五種品牌的手機，自各品牌的使用者分別隨 機抽取500 人調查其下次會再購買相同品牌的意願。資料如表所示。 品牌 A B C D E 會再購買相同品牌人數 450 300 250 100 50 抽取人數 500 500 500 500 500 請估計各品牌的使用者下次會再購買相同品牌手機的機率。（5 分） 請檢定各品牌的使用者下次會再購買相同品牌手機的機率是否都 相同。顯著水準 05 .0 = α 。（10 分） 假設只存在A 和 E 兩品牌下，請以和子題不同的檢定方法檢定 A 和 E 品牌手機的使用者下次會再購買相同品牌手機的機率是否 相同，並說明何以可用此方法檢定。顯著水準 05 .0 = α 。（10 分） 三、自W 城市的土地所有者中隨機抽取1,200 人，調查其土地位置（X） 及土地售價（Y）。收集之資料整理如表所示。 Y X 1,000 萬元 1,500 萬元 2,000 萬元 人數 位置1 60 500 40 600 位置2 40 300 60 400 位置3 50 100 50 200 人數 150 900 150 1,200 將表中的人數計算為機率值。（4 分） 計算條件期望值 E(Y|X≤2)。（8 分） 試檢定土地位置（X）及土地售價（Y）是否相關。顯著水準0.05。 （8 分） 四、假設(X, Y)的聯合機率密度函數（joint probability density function, pdf）為 f (x, y) =c(3x + 2y), 1 , 0 ≤ ≤ y x . 計算c 值。(5 分) 計算機率 ) 5.0 Y 0 ,5.0 X 0 ( ≤ ≤ ≤ ≤ P 。（5 分） 推導求得X 的邊際機率密度函數（Marginal pdf of X）。（5 分） 計算X 的期望值和變異數。（10 分） 表一 Z 值表 N(0, 1) N(0, 1) Φ(z) Zα Zα/2 表二 t 值表 The table gives the values of tα; v where Pr(Tv> tα; v) =α, with v degrees of freedom tα; v 表三 卡方分配臨界值表