統計 114 年統計學概要考古題

假設新冠肺炎之某快篩試劑的準確率為95%，亦即若有一人感染該病症， 那麼該試劑的檢測結果有95%的機率為陽性。反之，若一人未感染該病 症，那麼該試劑的檢測結果有9%的機率為（偽）陽性。若某一城市有25% 的人口已感染新冠肺炎，且該城市的某一市民使用該快篩試劑的檢測結果 為陽性，在此情形下，該市民實際感染新冠肺炎的機率為何？（15 分）

甲市警察局研究酒駕年齡之分布，已知其平均數為42 歲。（每小題10 分，共20 分） 若酒駕年齡服從常態分配，且介於34 至50 歲者占五成，試問酒駕 者中60 歲以上者占多少比例？ 若酒駕年齡之分配未知，試問酒駕者中60 歲以上者占多少比例？

某甲投擲三個公正銅板（亦即正反面的出現機率皆為1/2），並觀察其落 地後的正反面結果。請回答下列問題： 請寫出此一隨機實驗的樣本空間（sample space）。（提示：三個銅板的 投擲結果若分別為“正面”、“反面”、“正面”，那麼樣本空間中有一個元 素為“（正反正）”，其餘類推）（5 分） 令隨機變數X 代表三個銅板投擲後的正面出現次數（例如，當三個銅板 的投擲結果分別為“正面”、“反面”、“正面”，那麼 2 X ，其餘類推）， 請寫出X 的機率分布。（7 分） 請計算X 的期望值( ) E X 與變異數 ( ) Var X 。（8 分） 若有10000 人輪流做此種三個銅板的投擲實驗，得出如題之X 的 10000 個隨機變數 1 2 10000 , , , X X X  ，那麼 1 2 10000 10000 X X X X      會很接 近題那個數值？請說明你的答案及所依據的統計學定理。（10 分）

甲廠商宣稱其開發之A 型燈泡之平均壽命高於100 天。隨機抽取50 顆進行測試，得到其樣本平均數與樣本標準差分別為104 天與12 天。 （每小題10 分，共20 分） 在顯著水準為0.01 之下，試檢定廠商之宣稱是否成立？ 若燈泡一出廠就有瑕疵而無法使用的機率為0.005，而其餘燈泡之壽 命服從平均數為105 天之指數分配。試問壽命低於5 天之機率為何？

某賣場經理為研究其顧客之入場消費情況，他隨機抽取了400 個顧客的消 費紀錄，發現這400 個顧客的平均消費金額為新臺幣（下同）2150 元，並 且已知其賣場顧客消費金額的（母體）標準差為625 元，且其顧客的消費 金額呈常態分布。 請計算出全體入場顧客平均消費金額的95%信賴區間。（15 分） 如果賣場經理覺得題的信賴區間太寬，那麼在維持信心水準95%及消 費金額標準差不變的情況下，應該怎麼做才能讓信賴區間變窄？請說明 你的理由。（5 分） 如果其他情況保持不變，將信賴區間的信心水準由95%降至90%，則信 賴區間會變窄還是變寬？請說明你的理由。（5 分） 若在進行抽樣調查之前，賣場經理決定使用樣本平均數（sample mean） 做為所有顧客平均消費金額的點估計，且已知其賣場顧客消費金額 的（母體）標準差為625 元，在此情形下，其顧客消費金額的抽樣數目 應至少設定為多少，才能有95%的機率使估計誤差可以控制在50 元 以內？（10 分）

健康單位提供各式抽獎獎項鼓勵40 歲以上民眾接受癌症篩檢，民眾 可以選擇一種獎項參與抽獎。以下是不同年齡層之篩檢人次及選擇抽 獎獎項之統計資料： 40-50 50-60 60-70 70+ 演唱會門票 70 60 50 30 Xbox360 80 30 30 20 登山踏步健身機 80 80 70 60 在顯著水準為0.05 之下，試檢定年齡層與獎項是否相關？（10 分） 在顯著水準為0.05 之下，試檢定各年齡層之篩檢人次是否相同？ 並檢定各式獎項之篩檢人次是否相同？（20 分）

某人修習一門程式設計課程，並撰寫了模擬投擲骰子的程式，任課老師為 了檢定其程式是否能模擬出公正的擲骰子實驗（亦即1、2、3、4、5、6 點 的出現機率皆為1/6），於是利用該程式模擬出120 次的骰子投擲，其結 果如下： 點數 1 2 3 4

甲、乙、丙三種疾病第四期病人之存活年數統計資料如下，在顯著水 準為0.1 之下，試問三種疾病存活年數之分布是否相同？（10 分） <1 1-2 2-3 3-4 >4 甲 8 10 11 4 2 乙 30 15 8 3 1 丙 16 9 3 2 0

假設手機的應用程式之生命週期（y）（單位：年）與其發布後半年內的 下載次數（x）服從線性模型，y x e     ，其中e 服從 2 (0, ) N  。 若隨機取樣12 款已經被市場淘汰之應用程式，得到以下數據： 2 2 6345, 4050445, 39.64, 152.7, 24708 x x y y xy           ， 且判定係數為0.9288。（每小題10 分，共20 分） 試求回歸方程式與β 的95%信賴區間。 若一新款應用程式發布後半年內被下載500 次，試求其生命週期的 95%預測區間。 附表一：z 表 Example: If z=1.96, then (0 to z)=0.4750 附表二：t 表 Example: With df =9 and .10 area in the upper tail, t =1.383 附表三：χ2 表 Example: With 17 df and a 0.02 area in the upper tail,X2=30.995 附表四：F 表 附表五：F 表

出現次數 15 25 22 17 25 16 請寫出任課老師進行卡方適合度檢定（goodness of fit test）的虛無假設 與對立假設。（5 分） 請寫出在題之虛無假設下，該程式在此實驗中生成骰子點數1、2、3、 4、5、6 的期望出現次數。（5 分） 請以題與題的結果進行適合度檢定，並說明該修課的同學，其程式 是否能成功模擬公正骰子的投擲。（10 分） 常態機率表 常態機率表使用示例： 0.00 1.29 0.9015 卡方機率表使用示例： 0.00 9.49 面積=0.05 4 2 卡方機率表

豪華型價格（美元） 39 39 45 38 40 39 35 標準型價格（美元） 27 28 35 30 30 34 29 該製造商建議的兩種型號零售價有10 美元的價差。請以0.05 的顯著 水準，檢定這兩種型號價格之間的母體平均差是否為10 美元。 請計算兩種型號平均價格之差的95%信賴區間。 t 分配的左尾機率： ( ) ( ) T t df P T t p    ， 自由度 5 5 5 5 5 5 5 t 值 3.3649 2.5706 2.015 1.4759 0.9195 0.7267 0.5594 機率值p 0.01 0.025 0.05 0.1 0.2 0.25 0.3 自由度 6 6 6 6 6 6 6 t 值 3.1427 2.4469 1.9432 1.4398 0.9057 0.7176 0.5534 機率值p 0.01 0.025 0.05 0.1 0.2 0.25 0.3 自由度 7 7 7 7 7 7 7 t 值 2.998 2.3646 1.8946 1.4149 0.896 0.7111 0.5491 機率值p 0.01 0.025 0.05 0.1 0.2 0.25 0.3 四、一名氣象觀測員記錄了過去5 年來，每年5 月同一個5 日期間的每日最 高氣溫（單位：℉），數據如下： 55, 86, 94, 58, 55, 95, 55, 52, 69, 95, 90, 65, 87, 50, 56, 55, 57, 98, 58, 79, 92, 62, 59, 88, 65 該觀測員想檢定這些數據是否服從常態分配。他採用卡方適合度檢定， 並在常態分配的假設下，依據累積百分比（20%、40%、60%、80%）將 資料分為5 個組別，計算出的組界如下：第1 組：小於56.72；第2 組： 56.73～66.75；第3 組：66.76～75.25；第4 組：75.26～85.28；第5 組： 85.29 及以上。在α = 0.01 的顯著水準下，請根據計算結果，說明統計檢 定結論為何？（需寫出虛無假設及此檢定的自由度，需計算檢定統計量 及決定臨界值）（15 分） 卡方分布臨界值表（α = 0.01） 自由度（df） 1 2 3 4 5 6 7 臨界值 6.6349 9.2103 11.3449 13.2767 15.0863 16.8119 18.4753 五、六家小型租車公司的營運車輛數（千輛）與年營收（百萬美元）之間的 關係如下表： 公司名稱車輛數（千輛）年營收（百萬美元） 安順租車 11.5 118 節省租車 10.0 135 王牌租車 9.0 100 優選租車 5.5 37 三角租車 4.2 40 超值租車 3.3 32 令x 營運車輛數（千輛），y 年營收（百萬美元），估計的迴歸方程式 為ˆ 17.005 12.966 y x   。此模型的誤差平方和SSE 1043.03  。請回答下 列問題：（每小題10 分，共20 分） 計算判定係數並解釋此數值的意義。說明估計的迴歸方程式是否提供 良好的配適？ 樣本相關係數值為何？根據此係數，營運車輛數與年營收之間呈現強 相關還是弱相關？