統計 114 年抽樣方法與迴歸分析考古題

在一地區抽樣調查400 人，其中有40 人使用A 品牌手機。 試求此地區使用A 品牌手機人數比例p 的95%信賴區間（註： 0.025 1.96 Z  ）。（10 分） 若誤差 04 ˆ 0. e p p    ，則在95%的信賴水準下，樣本大小n 至少應 為多少？（15 分）

某市政府若想估算現有樹木植栽之綠化的社區總面積（以平方公尺計）， 由於綠化面積隨社區規模大小而有很大差異，決定以社區規模先進行分 層。若該市共有280 個社區，依規模分為四類（分別為A, B, C, D），採 用比例配置（proportional allocation）法進行分層隨機抽樣得以下結果： 社區規模分類（層） A B C D ܰ௜ 96 82 62 40 ݊௜ 16 13 10 6 ݕത௜ 183.6 383.0 590.5 772.4 ݏ௜ ଶ 1071.9 9054.8 16794.2 72376.3

某位統計學家想估計A 鎮居民每月生活花費。設該鎮有 120 N  鄰，此統 計學家隨機抽出 4 n  鄰，再由其中抽出數戶，得資料如下：（單位：千元） 每鄰戶數 i M 樣本戶數 i m iy 80 8 16 47 5 30 62 6 21 39 4 45 試求： 該鎮居民每月平均生活花費Y 的比例機率兩階段估計值。（7 分） 該鎮居民每月平均生活花費Y 的95%近似信賴區間。（18 分）

i i i i N y s 、n、與 分別為第i 層的母體數、樣本數、樣本平均數及樣本變異 數，i=A, B, C, D。 估計該市綠化社區的總面積。（5 分） 針對小題的估計結果，計算其95%近似誤差界限。（10 分） 如果使用奈曼配置（Neyman allocation），在5000 平方公尺的估計誤差 的範圍內，求一個近似的樣本量來達到小題的誤差界限。（15 分） 二、某市政府民政局制訂抽樣計劃，藉以估算所屬某項業務的每週申辦數 量。該民政局決定先對該市的20 個行政區隨機抽出五個區，然後再自抽 中的各區內的里進行隨機抽樣。此兩階段聚類樣本（two-stage cluster sample）得到以下統計結果： 區 里數 抽樣里數 ݕത௜ ݏ௜ ଶ 1 45 9 102 20 2 36 4 90 16

統計學家對某組數據，以最小平方法所配適的迴歸線為： 0 1 1 ˆ ˆ ˆi i y x     其中最小平方估計式 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 ˆ ( )( ) ( ) n i i x y i n x x i i x x y y S S x x           。但實際上，反應值 iy 還會受到第二個變數 2i x 影響，因此真實的迴歸線如下： 0 1 1 2 2 ( ) i i i E y x x       在此情形下，請問以最小平方估計式 1ˆ來估計 1 的偏誤量（bias）為多 少？請詳細列出偏誤量的數學式及其推導過程。（25 分）

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簡單線性迴歸模型如下： i 0 1 i i Y X     ε , i 1, ,n  其中iε 為iid 且服從 2 N(0,σ )。今某高中老師收集12 位學生的英文成績 （X）及數學成績（Y）如下： X 65 63 68 65 66 65 68 67 72 67 70 63 Y 63 65 71 64 68 63 65 66 70 68 69 67 請以此資料配適簡單線性迴歸模型。（10 分） 以所配適的模型，預測當學生英文成績為69 時，數學成績為何？（5 分） 請以α 0.05  ，進行雙尾檢定 0 1 H : 0 ， 1 1 H : 0  。請寫出詳細檢定 過程與結果（註：10,0.025 t 2.2281  ；11,0.025 t 2.2010  ；12,0.025 t 2.1788  ）。 （10 分）

69 22 4 18 4 94 26

28 2 120 32 2 i i y s 與 分別為第i 區該項業務的平均每週申辦數及樣本變異數 估算該業務平均的每週申辦數量。（5 分） 計算95%近似誤差界限。（15 分） 三、某市政府工務單位欲瞭解其約聘僱人員的工作滿意度分數Y（分數愈高 滿意度愈高）之影響因素，考慮以下解釋變數： 1 X ：工作年資（年） 2 X ：薪資（千元） 及學歷（分「高中及以下」、「大專」、「研究所及以上」等三類），並定義 變數如下： 3 4 1 1 0 0 X X         ， 若蒐集30 位約聘僱人員的資料，將Y 對 1 2 3 4 X X X X 和 、、 進行迴歸分析， 得到以下迴歸模型的估計： 估計值 標準誤 截距項 13.24 7.29 1 X 8.69 2.56 2 X 1.35 0.38 3 X 4.92 2.10 4 X 5.89 4.10 SST=989.7，s=4.8 SST 為總變異平方和（total sum of squares），s 為迴歸誤差之標準差的估 計值。回答以下問題： 說明所建立的迴歸模型及其所需誤差的假設。（6 分） 分別說明 3 X 與 4 X 之估計的迴歸係數的意義。（6 分） 以顯著水準為0.05，分別檢定 3 X 與 4 X 的迴歸係數之顯著性。（10 分） 寫出此配適模型的變異數分析（analysis of variance）表，並詳細說明 計算過程。（10 分） 以顯著水準為0.05，檢定此迴歸模型之所有解釋變數的係數是否皆等 於0。（6 分） 計算調整的判定係數（adjusted coefficient of determination）。（6 分） 說明均方誤（mean squared error，MSE）的定義與意義，並計算此配 適模型的MSE 值。（6 分） 大專學歷 其他 研究所及以上學歷 其他 附表一： α tα 附表二：