統計 114 年統計學考古題

假設隨機變數X 與Y 有下面的聯合（jointly）機率密度函數（probability density function）： , 0 ( , ) 0, y e x y f x y        其他範圍 請回答下列問題：（每小題4 分，共28 分） 求隨機變數X 與Y 的聯合動差母函數（moment generating function）。 求隨機變數X 的期望值。 求隨機變數Y 的期望值。 求隨機變數X 的變異數。 求隨機變數Y 的變異數。 求兩隨機變數X 與Y 的共變異數（covariance）。 求兩隨機變數X 與Y 的相關係數（correlation coefficient）。

美國總統川普上任後引發的全球關稅大戰，對臺灣企業造成了重大衝 擊，同時也引起全球股市劇烈波動，導致許多股票投資人蒙受損失。 如何在個人投資生涯中善用投資組合，以分散投資風險，已成為一門 重要的學問。在金融市場中，貨幣市場屬於報酬率較低但風險相對較 小的市場；相對地，股票市場則具有較高的報酬潛力，同時伴隨較高 的風險。下表列示在不同總體經濟景氣狀況下，投資於股票與貨幣型 基金的報酬率資料。 不同總體經濟景氣下，股票與貨幣型基金的投資報酬率 總體經濟景氣 二元f(x,y)機率 股票報酬率x 貨幣型基金報酬率y 衰退 復甦 繁榮 0.3 0.4 0.3 −30% 40% 30% 2% 4% 3% 請問投資股票的個別平均報酬率及風險（以標準差衡量）為何？ （4 分） 請問投資貨幣型基金的個別平均報酬率及風險（以標準差衡量）為 何？（4 分） 如果我們想利用兩種投資標的形成投資組合，將資金各50%投資兩 種投資標的，則平均報酬率及風險又為何？請與及小題之結果 合併討論投資組合之效果為何？（12 分）

搭乘甲鐵路對號列車，因可歸責鐵路公司致誤點達45 分鐘以上、或 是不可歸責鐵路公司的天災人禍致誤點達2 小時以上，旅客皆可申 請免費搭乘同區間同等級列車一次。假設上述可歸責與不可歸責之誤 點機率分別為3/4 與1/4，而其對應的每年受影響旅客人數分別服從平 均數為50 與100 之波瓦松分配。（每小題10 分，共30 分） 試問每年可申請免費搭乘同區間同等級列車旅客人次之機率分配 為何？ 試問每年可申請免費搭乘同區間同等級列車旅客人次之期望值與 標準差。 若可歸責業者與不可歸責業者之誤點時間分別服從平均數為1 小 時與5 小時之指數分配，試問誤點對號列車中，誤點時間超過2 小 時之比例約多少？

令 1 2 , , , n X X X  是一組樣本大小（sample size）為n，從均勻分配（uniform distribution）U[0, ] 抽樣而來的隨機樣本（random sample），其中的參數 未知。隨機變數 i X 的機率密度函數具有如下的形式： 1 , 0 ( ; ) 0, i i x f x          其他範圍 1,2, i n   請回答下列問題： 令ˆ為參數的最大概似估計量（maximum likelihood estimator）。 （每小題3 分，共12 分） 試求出ˆ。 ˆ是否具有不偏性（unbiased）？請證明之。 ˆ的均方誤差（mean square error，簡稱MSE）是多少？請證明之。 ˆ是否是參數的一致性估計量（consistent estimator of ）？請證 明之。 令ߠ෨為利用動差法（method of moments）來對參數做估計所獲得的統 計量。（每小題3 分，共12 分） 試求出ߠ෨。 是否具有不偏性？請證明之。 的均方誤差是多少？請證明之。 是否是參數的一致性估計量？請證明之。 試比較ˆ與的MSE，看怎樣的樣本大小會讓ˆ或那一個比較具優勢？ （3 分）

生產製程的管理最重要目標之一為降低生產過程的變異。假設某飲料 商裝填包裝飲料用有兩條生產製程線，平時品管人員都定期抽樣檢驗 飲料，避免製程發生問題而導致產品出現瑕疵。最近一次品管人員 針對兩條製程線進行隨機抽樣，每條製程抽取20 包飲料進行含量檢 驗，假設飲料包裝外標示含量為300 ml，以下為兩條製程抽取的飲料 含量： 第一條製程線 301 300 301 299 298 299 300 302 300 301 302 298 299 300 301 301 300 302 299 300 第二條製程線 303 302 300 298 303 297 300 302 298 299 305 302 300 299 305 304 300 298 300 302 請設立比較兩條生產製程線飲料包裝含量變異數的虛無與對立假 設。（5 分） 假設顯著水準為0.05，請依題目解釋本題的顯著水準的實務意義 （亦即品管主管對顯著水準設為0.05 的解釋）。（5 分） 請以臨界值法比較兩條生產製程線的飲料包裝含量變異數是否有 顯著差異。（6 分） 請以p 值法比較兩條生產製程線的飲料包裝含量變異數是否有顯 著差異。若要改善製程，應以那一條製程線為優先（說明原因）？ 19 ) 1 ( , 9 P F 3. ) ( 801 0 0 ( ) . 028   （9 分）

育嬰津貼的實施是否提升各市鎮新生兒人數？隨機抽取14 個市鎮， 得到實施前後之新生兒人數（單位：百人）統計如下： （每小題10 分，共40 分） 1 2

某一出租影印機業者，欲研究維護影印機的時間Y （分鐘）與所出租的影 印機數量X （台）之間的關係，經業者抽樣調查蒐集了10 組維護影印機 的時間與出租影印機數量的資料，如下表所示： Xi 20 23 27 24 19 22 18 19 21 25 Yi 520 547 594 551 509 513 495 511 527 534 若業者想利用這些資料建一個迴歸模型 0 1 Y X     作為未來估計與預測 之用，請回答下列問題：（每小題6 分，共30 分） 請以最小平方法（least square method）求參數 0 與 1 之估計值。 求參數 0 與 1 之95%信賴區間。 針對所算出來的 1 之95%信賴區間，請解釋其意涵。 若欲檢定由所蒐集的資料中是否足以顯示影印機維護時間受到出租影 印機數量的影響，可以怎麼做？結論為何？（顯著水準設為 0.05  ） 針對某一個月份影印機出租數量為26 台時，求其維護影印機時間的預 測值之95%的信賴區間。

航空公司工會對薪資獎酬福利的權益爭取紛爭不斷。某航空公司最近 委託某大學會計系教授輔導實施一套獎酬制度，希望能提升員工對公 司的薪酬滿意度，以降低紛爭。隨機抽取十位員工進行實施獎酬制度 前後的滿意度分數調查，如下表所示。假設滿意度分數母體資料非常 態分配，但沒有明顯偏態。 員工 實施前滿意度 實施後滿意度 1 3.8 4.5 2 3.5 3.9 3 3.6 3.9

隨機選取A、B 兩廠牌的輪胎各10 個，以成對的方式置入10 部車子的後 輪中，以測試這兩種輪胎的耐磨程度，並記錄其耐磨的里程數（里程數越 多代表輪胎越耐磨）。數據資料（單位：千公里）如下表所示： 輪胎 車子 1 2 3 4

3.7 4.3

家戶數 70 82 33 10 3 2 請問此一未成年家戶成員數資料在95%之信心水準下是否服從卜 瓦松分配（Poisson distribution）？（15 分） 請說明在95%之信心水準下是否有顯著之證據指出甲鎮內家戶12 歲 以下未成年家戶成員數目大於或等於2 人之比例大於15%。請敘述 恰當之虛無及對立假設、檢定統計量及檢定結果。（10 分） 四、某人想要研析三種不同的灌溉方式對產量的影響，規劃了15 塊面積 相同的農地，每種灌溉方式各隨機選擇5 塊農地加以應用，三種灌溉 方式所得產量資料整理後如下表： 灌溉方式 A B C 樣本平均 15.4 18.4 28.4 樣本變異數 9.3 20.8 18.3 經一因子變異數分析後，發現三種灌溉方式之產量確有顯著之差距， 請回答下列問題： 請寫出一因子變異數分析之變異數分析表（含檢定三種灌溉方式之 產量是否相同之檢定統計量值）。（10 分） 因為一因子變異數分析顯示三種灌溉方式之產量顯著不同，請用費 雪之最小顯著差異法（Fisher’s Least Significant Difference），以單 一成對比較信心水準為95%之基準下，判斷那幾組成對之兩種灌溉 方式產量比較有顯著之不同。（10 分） 承中之整體型一誤差機率為何（亦即產生至少一次型一誤差之機 率）？若用邦佛洛尼校正法（Bonferroni correction）調整單一成對檢 定之顯著水準，調整後之單一成對檢定之顯著水準以及整體型一誤 差機率為何？（5 分） t 分配表 F 分配表 卡方分配表 卜瓦松機率分配表

4 4.6

4.2 4.4

3 3.6

9 10 A 廠牌 23 20 26 25 48 26 25 24 15 20 B 廠牌 20 30 16 33 23 24 8 21 13 18 請回答下列的問題（顯著水準皆設為 0.01  ）：（每小題5 分，共15 分） 若已知母體為常態分配，根據上表的資料，請問A 廠牌的輪胎平均耐 磨度是否較B 廠牌好？ 若已知母體分配未知，請以符號檢定法（The Sign Test）再檢定之 結果。 若已知母體分配未知，請以Wilcoxon 符號等級檢定法（The Wilcoxon Signed-Rank Test）再檢定之結果。

3 3.5 9 3.4 4.3 10 3.2 3.3 請設立虛無與對立假設。（5 分） 在5%的顯著水準下，請問獎酬制度是否能提升員工滿意度？（10 分） 四、有一個針對某夜市三家炸雞店口味的滿意度調查（分數從1～7 分， 極度不滿意～極度滿意），假設三家炸雞店的母體滿意度分數皆為常 態分配且母體變異數皆相等，隨機抽取到該夜市逛街的30 位顧客， 分別隨機指派吃三家店的炸雞，下表為得出的滿意度分數。假設顯著 水準為0.05。 三家炸雞店的樣本滿意度分數 第一家 第二家 第三家 5 3 2 3 3 4 4 4 3 6 5 5 5 4 4 5 4 5 6 3 2 7 3 3 7 4 3 6 5 5 請問三家炸雞店口味的平均滿意度是否有差異？請編製ANOVA 表。 7 ( ) 2,2 P F 8. ) 2 ( 111 0 ( ) .00   （8 分） 請利用Fisher LSD 方法進行事後多重程序比較，三家炸雞店口味 平均滿意度分數有何差異？（6 分） 請利用Bonferroni 調整法進行事後多重程序比較，三家炸雞店口味 平均滿意度分數有何差異？ 0.008,2 ( ) 7 (t 2.878)  （6 分） 五、臺中某咖啡店店長想要了解咖啡銷售量與其整體業績是否有關係，以 便進行行銷策略之調整。下表為該店過去10 天的咖啡銷售量與營收 的資料。 臺中某咖啡店咖啡銷售量與營收資料 當日咖啡銷售量 當日營收（百元） 1 125 251 2 104 223 3 98 196 4 145 258 5 113 232 6 156 270 7 105 211 8 94 200 9 121 244 10 130 252 請以咖啡銷售量為自變數，營收為應變數，利用最小平方法估計迴 歸方程式。（7 分） 在顯著水準α 0.05  下，若利用t 檢定來進行檢定，咖啡銷售量與 當日營收之間是否存在顯著關係？（5 分） 請說明上述結果對此咖啡店店長有何管理意涵？（3 分） 當某日咖啡銷售量賣出130 杯時，請預測該日營收的95%的預測 信賴區間。（5 分） 附表 表1 F 分配的臨界值 0 ) 1 , 1 ; ( 2 1   n n F  Ｆ值的右尾面積或機率   2 2 2 1 s s F  分母自由度 19 20 右尾面積 0.01 0.025 0.05 0.1 0.01 0.025 0.05 0.1 分 子 自 由 度 10 3.43 2.82 2.38 1.96 3.37 2.77 2.35 1.94 15 3.15 2.62 2.23 1.86 3.09 2.57 2.20 1.84 20 3.00 2.51 2.16 1.81 2.94 2.46 2.12 1.79 25 2.91 2.44 2.11 1.78 2.84 2.40 2.07 1.76 30 2.84 2.39 2.07 1.76 2.78 2.35 2.04 1.74 ) 1 , 1 ; ( 2 1   n n F  表2 標準常態Z 分配的左邊累積機率(z > 0) z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 0.9772 0.9821 0.9861 0.9893 0.9918 0.9778 0.9826 0.9864 0.9896 0.9920 0.9783 0.9830 0.9868 0.9898 0.9922 0.9788 0.9834 0.9871 0.9901 0.9925 0.9793 0.9838 0.9875 0.9904 0.9927 0.9798 0.9842 0.9878 0.9906 0.9929 0.9803 0.9846 0.9881 0.9909 0.9931 0.9808 0.9850 0.9884 0.9911 0.9932 0.9812 0.9854 0.9887 0.9913 0.9934 0.9817 0.9857 0.9890 0.9913 0.9936 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 0.9938 0.9953 0.9965 0.9974 0.9981 0.9940 0.9955 0.9966 0.9975 0.9982 0.9941 0.9956 0.9967 0.9976 0.9982 0.9943 0.9957 0.9968 0.9977 0.9983 0.9945 0.9959 0.9969 0.9977 0.9984 0.9946 0.9960 0.9970 0.9978 0.9984 0.9948 0.9961 0.9971 0.9979 0.9985 0.9949 0.9962 0.9972 0.9978 0.9985 0.9951 0.9963 0.9973 0.9980 0.9986 0.9952 0.9964 0.9974 0.9981 0.9986 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 0.9986 0.9990 0.9993 0.9995 0.9997 0.9987 0.9991 0.9993 0.9995 0.9997 0.9987 0.9991 0.9994 0.9995 0.9997 0.9988 0.9991 0.9994 0.9996 0.9997 0.9988 0.9992 0.9994 0.9996 0.9997 0.9989 0.9992 0.9994 0.9996 0.9997 0.9989 0.9992 0.9994 0.9996 0.9997 0.9989 0.9992 0.9995 0.9996 0.9997 0.9990 0.9993 0.9995 0.9996 0.9997 0.9990 0.9993 0.9995 0.9997 0.9998 表3 t 分配的臨界值 自由度 t0.10 t0.05 t0.025 t0.01 t0.005 1 2 3 4 5 3.078 1.886 1.638 1.533 1.476 6.314 2.920 2.353 2.132 2.015 12.706 4.303 3.182 2.776 2.571 31.821 6.965 4.541 3.747 3.365 63.656 9.925 5.841 4.604 4.032 6 7 8 9 10 1.440 1.415 1.397 1.383 1.372 1.943 1.895 1.860 1.833 1.812 2.447 2.365 2.306 2.262 2.228 3.143 2.998 2.896 2.821 2.764 3.707 3.499 3.355 3.250 3.169 11 12 13 14 15 1.363 1.356 1.350 1.345 1.341 1.796 1.782 1.771 1.761 1.753 2.201 2.179 2.160 2.145 2.131 2.718 2.681 2.650 2.624 2.602 3.106 3.055 3.012 2.977 2.947 16 17 18 19 20 1.337 1.333 1.330 1.328 1.325 1.746 1.740 1.734 1.729 1.725 2.120 2.110 2.101 2.093 2.086 2.583 2.567 2.552 2.539 2.528 2.921 2.898 2.878 2.861 2.845 21 22 23 24 25 1.323 1.321 1.319 1.318 1.316 1.721 1.717 1.714 1.711 1.708 2.080 2.074 2.069 2.064 2.060 2.518 2.508 2.500 2.492 2.485 2.831 2.819 2.807 2.797 2.787 26 27 28 29 30 1.315 1.314 1.313 1.311 1.310 1.706 1.703 1.701 1.699 1.697 2.056 2.052 2.048 2.045 2.042 2.479 2.473 2.467 4.462 2.457 2.779 2.771 2.763 2.756 2.750 31 32 33 34 35 1.309 1.309 1.380 1.307 1.306 1.696 1.694 1.692 1.691 1.690 2.040 2.037 2.035 2.032 2.030 2.453 2.449 2.445 2.441 2.438 2.744 2.738 2.733 2.728 2.724 36 37 38 39 40 1.306 1.305 1.304 1.304 1.303 1.688 1.687 1.686 1.685 1.684 2.028 2.026 2.024 2.023 2.021 2.434 2.431 2.429 2.426 2.423 2.719 2.715 2.712 2.708 2.704

9 10 11 12 13 14 實施前120 80 60 180 200 160 140 60 190 180 140 80 60 40 實施後124 81 65 187 203 160 143 61 189 185 139 72 59 45 顯著水準為0.05 之下，試以t 檢定說明是否育嬰津貼實施後新生 兒人數增加。 若實施後各市鎮新生兒人數平均增加360 人，試問中檢定方法之 型二誤差為何？ 試以直方圖判斷本題使用t 檢定所需的常態假設之合理性。 顯著水準為0.05 之下，試以Wilcoxon 無母數方法進行檢定。 三、超過5 成的企業預期未來幾年的AI 人力需求將持續上升，特別 是在生成式AI 的應用下，相關產業的職缺將大幅增加。過去 20 個月的資料顯示市場對於AI 人才之需求呈線性成長趨勢， 今考慮需求人數 y 對時間之簡單線性模型，得到 2 2 ˆ 362, 4766, 7975, ( ) 15.25 i i i i i y iy y y y          。 （每小題10 分，共30 分） 試求回歸方程式。 試寫出ANOVA 表。 試寫出此模型之假設，並根據以下殘差圖說明模型假設是否合理。 residual t 附表一：t 表 Example: With df =9 and .10 area in the upper tail, t =1.383 6 6 附表二 Critical Values for the Wilcoxon Rank-Sum Test 附表三 Critical Values for the Wilcoxon Signed-Rank Test