統計 113 年統計學考古題

假設某抗肥胖藥物可由政府補助之條件如下： 條件一：有心疾者、且身高體重指數（body-massindex，簡稱BMI）大於28； 條件二：無心疾者、且BMI 大於32。 已知有心疾者占總人口的10%。若有心疾者的BMI 平均值為25、標準 差為5；無心疾者的BMI 平均值為22、標準差為4。請回答下列問題： （每小題10 分，共20 分） 試問無心疾者中，有多少比例可獲補助？ 若有心疾者與無心疾者的BMI 分別都服從常態分配，試問可獲補助者 中，屬於有心疾者的比例為何？

人工智慧的興起，帶動了市場對晶片需求量的飆升，也連帶促成相關產 業的蓬勃發展。已知國內有某家公司專門生產晶片半導體製程中使用的 圓形光罩。今由此公司之生產線隨機抽檢n 筆光罩樣本並測量其半徑。 若已知因某些特定原因造成該公司測量儀器不精準，測量之觀測值會有 誤差，令 表其觀測誤差。假設觀測誤差 1

甲、乙兩個長期照顧居家服務中心統計其每個月的服務人次，資料如下： 樣本數（月） 樣本平均數 樣本標準差 甲 12 58 4 乙 15 65 5 假設兩母體皆服從常態分配，且變異數相同（σ1 2=σ2 2=σ2）。請回答下列問 題：（每小題10 分，共20 分） 試求σ2的估計值，以及其95%信賴區間。 在顯著水準0.05 之下，試檢定兩母體平均數是否相等。

, ,..., n  彼此相互獨立 且服從平均數為1，變異數為 2 之常態分配，並令為此圓形光罩的真實 半徑。令變數 1 2 , ,..., n Y Y Y 為此n 筆樣本之半徑的觀測值，則 , 1,2,..., i i Y i n      。令 ( ) F y 為變數 iY 之累積分配函數（cumulative distribution function）。（每小題10 分，共80 分） 求出機率  1 2 ( ) ( ) 1 0.5 F Y F Y P   。 求出條件機率  2 1 2 ( ) ( ) ( ) 0.5 P F Y F Y F Y   。 假設和 2 皆未知，請利用觀測值 1 2 , ,..., n Y Y Y 求出此光罩半徑之最大 概似估計量（maximum likelihood estimator）。 假設和 皆未知，請利用觀測值 1 2 , ,..., n Y Y Y 求出此光罩面積 2 之均勻 最小變異不偏估計量（uniformly minimum variance unbiased estimator）。 假設和 皆未知，請求出光罩半徑之信賴水準100(1 )%   的信賴區 間。 若該公司有兩條獨立作業的生產線，且已知此兩條生產線所生產之光 罩的瑕疵率皆為。令變數 iS 為第i 條生產線上檢測產品直到檢測出 第一個瑕疵品前所需的檢測（良品）次數， 1,2 i  ，請求出機率 1 2 [ ] P S S  。 續題，令變數 1 2 { , } U Min S S  代表取 1 2 , S S 之最小值，請求出U 之機 率密度函數 ( ) f u 。 求出題之變數U 的期望值 ( ) E U 。 1 2 , ,..., n    2   2   二、臺灣量子國家隊已成軍5 年，去年突破技術瓶頸，成功自製出5 量子位 元之超導量子電腦，象徵著臺灣的量子時代來臨。已知團隊開發的量子電 腦有一個核心的元件，此核心元件是由三個電路組件串聯及並聯構成。令 變數 1 2

COVID-19 疫情期間，學校關閉或改為線上課程。某教育機構評估疫情 後學生在閱讀方面的能力。隨機抽取600 名八年級學生進行滿分100 分 之閱讀測驗，記錄其成績，得樣本平均數56 分、樣本標準差18 分，分 數分布如下： 分數 [0, 20] (20, 40] (40, 60] (60, 80] (80, 100] 人數 54 144 252 120 30 請回答下列問題：（每小題10 分，共20 分） 在0.05 顯著水準之下，試檢定此資料是否服從常態分配。 若[0, 40]分為「待加強」，(40, 60]分為「基礎」，(60, 100]分為「精熟」。 已知疫情前，此三種等級之比例分別為30%，50%，20%。在顯著水準 0.05 之下，試檢定疫情前後八年級學生閱讀能力之等級分布是否相同。

, , T T T 分別代表此三個電路組件的壽命，此核心元件是先由第一及 第二個電路組件串聯後，再和第三個電路組件並聯而成，因此整個核心元 件的壽命是 1 2 3 { { , }, } X Max Min T T T  ，此處 { , } Max a b 代表取,a b 之最大值， { , } Min a b 代表取,a b 之最小值。假設此三個電路組件的壽命彼此相互獨 立，皆服從具有平均數為2 之指數分配。（每小題10 分，共20 分） 求出變數X 之機率密度函數 ( ) f x 。 求出變數X 之變異數 ( ) Var X 。

王先生蒐集過去12 個月甲市新成屋的交易價格，得每坪平均交易價格 y1,y2,...,y12 （單位：萬元）。已知此樣本之平均數與標準差分別為 y=63,sy=12。又將每坪平均交易價格對時間做線性迴歸，得到截距項係 數估計值為50。請回答下列問題：（每小題10 分，共40 分） 試求斜率係數估計值。 試分別預測接下來兩個月的每坪平均交易價格。 在0.05 顯著水準之下，試檢定斜率係數是否為正值。 接下來兩個月，若每坪平均交易價格的真實值分別為77 萬元與72 萬 元，試計算中預測結果的平均絕對誤差（mean absolute deviation）。