統計 113 年統計學概要考古題

假設股票本益比樣本的平均值為13.5，標準差為2。如果這些股票本益比 呈現鐘形分布，說明落在11.5 及15.5 之間的股票本益比的比例為何？落 在7.5 及19.5 之間的股票本益比的比例為何？（15 分）

目前核融合技術的重大突破，讓未來核融合發電可望成真。已知國內某 大學的實驗室有三座核融合反應爐，令變數 iT 為第i 座反應爐的核融合 實際反應時間與目標反應時間之間的差異， 1,2,3 i  。假設變數 1

3 名學生參加某家大型企業公司的暑期工作面試，每個學生的面試結果， 要不是收到某個職位的錄用通知（Y），就是沒有收到錄用通知（N）。實 驗結果（experimental outcome）是根據3 名學生面試的結果來定義。 請列出所有可能實驗結果。（10 分） 定義一個代表錄用人數的隨機變數，說明該隨機變數之類型及其可能值 之範圍。寫出每個實驗結果對應的隨機變數之值。（15 分）

依據某國家勞動統計單位報告指出，2018 年有10.2%的工人加入工會。假 設某工會在2023 年蒐集了400 名工人的樣本，詢問是否會加入工會，樣 本結果顯示，400 名工人中有47 名工人加入工會。在5%的顯著水準下， 以計算p 值的方式進行假設檢定，並寫下假設檢定的所有過程，請確認工 會組織持續的努力是否有提升工人加入工會的意願？（20 分）

, , T T T 彼 此相互獨立，且都服從平均數為0，變異數為4 之常態分配。 求出機率 2 2 1 2 [ + 2] P T T  。（10 分） 令變數 ，請求出變數S 之機率密度函數 ( ) f s 。（10 分） 令變數 2 1 2 2 1 2 T T T W   ，請求出變數W 之機率密度函數 ( ) f w 。（10 分） 求出題之變數W 的期望值 ( ) E W 。（10 分） 求出機率 1 2 3 [ { { , }, }<0] P Min Max T T T ，此處 { , } Max a b 代表取,a b 之最大 值， { , } Min a b 代表取 之最小值。（10 分） 假設每一座反應爐每次點火成功的機率為0.2，且假設三座反應爐點火 成功與否彼此相互獨立。令 i X 為第i 座反應爐直到第一次點火成功前， 所需的點火（失敗）次數， 1,2,3 i  。請求出機率 1 2 [ ] P X X  。（10 分） 二、ChatGPT 的問世帶動了AI 商機的蓬勃發展，也促成了市場對GPU 需求 量的急遽增加。已知國內某生產GPU 的工廠，所生產的GPU 之壽命服 從變異數為之指數分配。今由此公司之生產線隨機抽檢n 筆GPU 樣本 並測驗其壽命，令 1 2 , ,..., n Y Y Y 表此n 筆相互獨立樣本之觀測值。令 1 2 { , ,..., } n Min Y Y Y 代表取 1 2 , ,..., n Y Y Y 之最小值， 1 2 { , ,..., } n Max Y Y Y 代表取 1 2 , ,..., n Y Y Y 之最大值。 求出此GPU 壽命分配之中位數的均勻最小變異不偏估計量（uniformly minimum variance unbiased estimator）。（10 分） 求出機率 1 2 [ { , ,..., } 1] n P Min Y Y Y  之最大概似估計量（maximum likelihood estimator）。（10 分） 求出機率 1 2 1 2 [ { , ,..., } 1, { , ,..., } 2] n n P Min Y Y Y Max Y Y Y   。（10 分） 令 ( ) F y 為變數 iY 之累積分配函數（cumulativedistributionfunction）。請求出 機率 1 1 1 2 1 2

有2 家具有支配市場地位的公司，公司A 與公司B 最近積極執行廣告活 動以增加其產品的市場占有率。在廣告活動開始之前，公司A 的市場占有 率是45%，公司B 的市場占有率是40%，其他競爭者則為其餘的15%。 為了確認廣告活動之後這些市場占有率是否有所改變，公司A 蒐集了200 位使用該項產品之顧客的隨機樣本，並詢問對產品偏好的資料。200 位顧 客當中，102 位表明偏好公司A 的產品，82 位偏好公司B 的產品，其餘 16 位偏好其他競爭者的產品。在5%的顯著水準下，請以卡方檢定來判定 在廣告活動之後，顧客偏好的程度是否改變，並寫下假設檢定的所有過程。 （25 分）

2 [ { ( ), ( ),..., ( )} , { ( ), ( ),..., ( )} ] n n P Min F Y F Y F Y Max F Y F Y F Y   。 （10 分） 2 2 2 1 2 3 S T T T    ,a b

湯泉庭園綠化公司蒐集了14 戶家庭房屋價值（單位：千美元，下同）和景 觀美化支出的數據，希望開發預測模型來向潛在客戶行銷。令x =房屋價值， y =景觀美化支出，原始資料整理如下： / 5,761/14 411.5 / 211.7 /14 15.1214 i i x x n y y n       2 ( )( ) 8,194.15 ( ) 382,633.5 i i i x x y y x x        請使用最小平方法建立估計迴歸方程式，並預測價值575 千美元的房屋所 需的景觀美化支出。（15 分）

某煞車片製造商為了解其產品性能，選了10 部車作實驗。X 為車速（公 里/小時），Y 為緊急煞車後的滑行距離（公尺），資料及迴歸ANOVA 結 果如下： car 1 2 3 4 5 6

9 10 Y 1.6 2.1 2.6 3.6 4.2 4.3 4.9 5.5 5.0 6.2 X 30 40 40 50 50 60 70 80 80 90 Predictor Coef StDev T P Constant -0.2371 0.4407 -0.54 0.605 X 0.07181 0.00710 (a) (b) Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression 19.031 19.031 102.3 0.000 Error (c) (d) 0.186 Total (e) (f) 填滿以上表中空白(a)～(f)。（15 分） 求該迴歸模式之判定係數R 平方（R square）。（5 分） 附表一 常態分配表 附表二 F 分配臨界值表 v2(d.f.) v1(d.f.) α=0.05 P( F>Fa)=α α Fa 0