統計 105 年統計學概要考古題

設X 為服從二項分配（Binomial(n,p)）的隨機變數，且已知其期望值 0.6 ) ( = X E ，變 異數 4.2 ) ( = X Var 。（每小題10 分，共20 分） 試計算n 與p。 若有一個與X 互為獨立之伯努力隨機變數Y，且Y 服從Bernoulli (0.4)，令Z=X+Y， 試計算 )

設隨機變數X 的機率分配為 隨機變數Y 的機率分配為 x 0 1 y 1

( = Z P 之機率。（僅需列出機率式，不需計算數值。） 二、設兩種牌子手機壽命分別符合獨立同態（independent and identically distributed, i.i.d.） 的常態分配，即{ } { } ) , ( ,) , ( 2 2 . .. 10 1 2 1 . .. 10 1 σ μ σ μ N Y N X d i i i i d i i i i ～ ～ = = 。各抽10 支手機得其手機 壽命之統計資料值如下: 樣本平均壽命(年) 平方和 A 牌(X) 7 = x 年 520 10 1 2 = ∑ ix B 牌(Y) 5 = y 年 286 10 1 2 = ∑ iy 在顯著水準 1.0 = α ，欲比較此兩個牌子手機平均壽命是否有差異，則試寫出假設 檢定虛無假設H0，及對立假設H1 之敘述。（5 分） 承小題，試寫出檢定統計量及其結論。（15 分） 105年公務人員特種考試關務人員考試、 105年公務人員特種考試身心障礙人員考試及 105年國軍上校以上軍官轉任公務人員考試試題 全一張 （背面） 考試別： 關務人員考試 等 別： 四等考試 類 科： 關稅統計 科 目： 統計學概要

某品牌2 呎寬的鋁製簾幕上平均每100 呎長有一個瑕疵，令X 表示瑕疵之個數。 （每小題10 分，共20 分） 試計算在50 呎長度內沒有瑕疵的機率。 試計算在200 呎長度內至少有三個瑕疵的機率。（僅需列出機率式，不需計算數值。）

f (x) 0.4 0.6 f (y) 0.25 0.5 0.25 今已知 6.0 )1 |1 ( = = = Y X P ， 4.0 ) 2 | 0 ( = = = Y X P ，則： 試求隨機變數X 與Y 之聯合機率分配 ) , ( , y x f Y X 為何？（6 分） 試求 = ≤ + ) 2 ( Y X P ？（6 分） 試求隨機變數X 與Y 的相關係數 = Y X , ρ ？（6 分） 隨機變數X 與Y 是否獨立？請說明之。（6 分） 二、臺北第一超市欲向梨山向陽蘋果園採購1000 箱蘋果，向陽蘋果園出產之蘋果重量 （個）為一常態分配，其平均重量為360 公克，標準差為30 公克。今臺北第一超市 派出採購部王經理，進行蘋果品質抽樣檢驗工作。試問： 王經理自向陽蘋果園隨機抽取一個蘋果，則該顆蘋果重量少於330 公克的機率為 何？（8 分） 若向陽蘋果園以50 個蘋果裝成一箱裝運，王經理自該園隨機抽取一箱檢驗，則該 箱蘋果的重量在18±0.5 公斤的機率為何？（8 分） 三、設( , , 2 1 X X …, 100 X )為抽自母體變異數為100，平均數μ為未知的常態分配之一組大小 為n =100 之隨機樣本，今欲利用此組隨機樣本來檢定 0 H ： 75 = μ 對 1 H ： 78 = μ ，且 訂定檢定規則（危險域）為 } { k X C ≥ = ，則： 若取顯著水準為 025 .0 = α ，試決定上述檢定規則（危險域）C 中之常數k 之值為 何？（8 分） 試求上述中所訂定之檢定規則C 的檢定力（power）為何？（8 分） 試求上述中所訂定之檢定規則C 會產生多大的型二誤差（typeⅡ error）之機率， 即 = β ？（8 分） （請接第二頁） 105年公務人員普通考試試題 全三頁 第二頁 類 科： 統計 科 目： 統計學概要

設X 為一隨機變數， 1 ) ( = X E 及

以下是一項調查1000 位學生，有關學生是否有吸菸習慣與其父母吸不吸菸的調查研 究，得資料如下： 父母皆吸菸 父或母親吸菸 父母皆不吸菸 學生不吸菸 150 300 450 學生吸菸 20 30 50 試以顯著水準 05 .0 = α 之下，檢定學生是否吸菸與其父母吸不吸菸間是否有關？請 寫出相關檢定的所有步驟與最後檢定之結果。（10 分） 請說明你（妳）所用的統計檢定方法其名稱為何？（6 分）

) ( 2 = X E ，試以柴比雪夫定理（Chebyshev’s Theorem） 計算機率 ) 5 3 ( ≤ ≤ − X P 之下界。（20 分） 五、請分別詳述下列統計學中著名定理的內容及其應用：（每小題10 分，共20 分） 中央極限定理（Central Limit Theorem）。 貝氏定理（Bayes Theorem）。

已知自三個具有相同變異數 2 σ 之常態母體，分別獨立的隨機抽出樣本，經整理得樣 本資料訊息如下表所示： 母體 樣本數（ in ）平均數（ ix ） 變異數（ 2 is ） 1 3 13 25 2 5 14 16 3 7 15 9 試依此資料訊息，取顯著水準 0.05 = α ，檢定此三個母體的平均數是否全相等？假 設此資料適合做變異數分析。（註：參考統計值 89 .3 ) 12 ,2 ( 05 .0 = F ， 49 .3 ) 12 ,3( 05 .0 = F ） （12 分） 變異數 2 σ 的估計值為何？（8 分） （請接第三頁） 105年公務人員普通考試試題 全三頁 第三頁 類 科： 統計 科 目： 統計學概要 （請接背面） 附表1：標準常態累加機率值表 附表2：卡方分配臨界值表 0 z P(-∞＜Z＜z). 0 α χ χ α = ≥ ) ( 2 , 2 v v P 2 ,α χv