統計 107 年統計學概要考古題

假設有一個球箱中放置了8 顆標記有數字的球，其中4 顆標記數字"0"， 2 顆標記數字"-1"，2 顆標記數字"1"。現在從這個球箱中，以取後放回 的方式隨機抽出2 顆球，球上標記的數字分別為

某房屋仲介公司廣告宣稱營業區域內的套房市場平均售價是250 萬元。某消費者團 體為驗證該廣告的真實性，做一項36 個樣本的市場調查，經計算得樣本平均售價288 萬元。假設售價服從具有母體標準差60 萬元的常態分配。 在顯著水準為5%時，說明檢定統計量及其機率分配，並計算顯著性P-值且驗證該 公司廣告的真實性。（10 分） 求套房平均售價的95%信賴區間，以此說明第小題中的結論，並請敘明理由。（5分）

1, X X ，並計算平均數 2 /) ( 2 1 X X X + = 。 寫出此抽樣問題中的母體分配。（3 分） 求算母體平均數與母體變異數。（6 分） 說明 2 1, X X 兩個隨機變數是否獨立及其理由。（5 分） 寫出X 的抽樣分配。（5 分） 求算X 的平均數與變異數。（6 分） 若同樣以取後放回的方式隨機抽出4 顆球，求算 4 /) ( 4

在一組隨機樣本17、15、23、7、9、13 中，已得知變異數33.2，計算平均數、變異 係數（CV），以及全距（range）與四分位距（IQR）各是多少？（12 分）

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在某學校的月考成績中，有40%學生數學不及格，25%學生英文不及格，10%學生數 學與英文都不及格。今隨機抽取一位學生，試求：（每小題6 分，共18 分） 若該生英文不及格，則該生數學不及格的機率。 若該生數學不及格，則該生英文不及格的機率。 該生英文與數學中至少有一科及格的機率。

X X X X X + + + = 的標準差。（5 分） 二、大一統計學課程共有100 位同學選修該課程，學期中共舉行期中考與期 末考兩次考試。假設這兩次考試成績分別符合常態分配 ) , ( 2 1 1 σ μ N 與 ) , ( 2 2 2 σ μ N 。為了想了解該課程同學期中考平均成績與期末考平均成績 是否有差異，我們從100 位同學中隨機抽出4 位同學並記錄他們的期中 考(X)與期末考(Y)成績如下： (X,Y)：(40,60) (60,50) (80,50) (60,80) 請分別估計此課程100 位同學期中考及期末考成績的平均數。（4 分） 請分別估計此課程100 位同學期中考及期末考成績的變異數。（6 分） 請估計此課程100位同學期中考成績與期末考成績的相關係數。（6分） 想了解該課程100 位同學期中考平均成績與期末考平均成績是否有差 異，請寫出檢定的虛無假設H0 與對立假設H1。（4 分） 寫出小題中檢定統計量及其在虛無假設下的分配。（6 分） 計算小題中檢定統計量的值。（4 分） 三、承前一題中的資料， 如果想了解該課程100 位同學，期中考成績與期末考成績的變異數是 否一樣，這組4 位同學期中考及期末考成績的變異數是否可用來推導 F 分配？請說明理由。（5 分） 若進一步考慮簡單線性迴歸模型： ε β α + + = X Y ，其中X 為期中考成績，Y 為期末考成績， 求算判定係數r2（coefficient of determination），迴歸線截距項估計值αˆ 及迴歸線斜率估計值βˆ 。（15 分） 四、假設 ) , ( ~ 2 σ μ N X i , i = 1, …, n,為n 個獨立的隨機變數，X 為其平均 數， )1 /( ) ( 2 1 2 − − = ∑ = n X X S i n i 為變異數。請寫出 2 1 ) ( σ μ − ∑ = i n i X 及∑ = − n i i X X 1 2) ( σ 的分配。（10 分） 自某母體分配中抽取一組樣本數n=100 的隨機樣本，得樣本平均數 12 . 50 = x ，樣本標準差 76 .6 = s 。若以樣本平均數為母體平均數的估 計值，令e 為其95%誤差界限，即( ) 95 .0 = ≤ − e X P μ 。請概算誤差界 限e 之值。（10 分） 參考值： 96 .1 025 .0 = Z

若有400 個來自N(60, 25)常態分配的數據（右尾z 0.10=1.282、z 0.05=1.645、z 0.025=1.96）， 則有幾個數據會大於58？（10 分）

一位專家想估計一項新的減肥計畫之平均體重減量。在一個初步研究中得知體重減 量的母體為標準差15 磅的常態分配。（每小題5 分，共10 分） 以95%信心水準的區間估計，至少需多少樣本得以估計平均體重減量與母體平均體 重減量之差在2磅以內？ 改變標準差為30 磅，試問所需的樣本數會是多少？

一完全隨機實驗中總共有三項處理（treatment），每項處理有5 個觀察值，已知處理 平方和SSTR=520，總平方和SST=860。（每小題10 分，共20 分） 計算均方誤差（MSE）和處理均方值（MSTR）。 在顯著水準為5%時，檢定三項處理平均值是否相同，計算檢定統計量及其結論 （F0.05=3.89）。

以8 組隨機配對樣本進行一項產品銷售量（y）和產品不良率（x）的迴歸分析中，經 計算得到下列資料：yˆ = 127 – 0.425 x，迴歸平方和SSReg=473.65，誤差平方和SSE = 119.21，廣告費用斜率估計的標準差Sb1= 0.095。（右尾t 0.05(6)=1.943、t 0.025(6)=2.447、 t 0.05(7)=1.895、t 0.025(7)=2.365） 當不良率為70 時，則銷售量的估計值為何？（5 分） 在顯著水準為5%時，檢定不良率是否對銷售量有負向影響，計算檢定統計值。（10分） （請接第二頁） 107年公務人員普通考試試題 全二頁 第二頁 類 科： 統計 科 目： 統計學概要 標準常態右尾機率表: P(Z > 1.32)=0.0934 z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.0 0.5000 0.4960 0.4920 0.4880 0.4840 0.4801 0.4761 0.4721 0.4681 0.4641 0.1 0.4602 0.4562 0.4522 0.4483 0.4443 0.4404 0.4364 0.4325 0.4286 0.4247 0.2 0.4207 0.4168 0.4129 0.4090 0.4052 0.4013 0.3974 0.3936 0.3897 0.3859 0.3 0.3821 0.3783 0.3745 0.3707 0.3669 0.3632 0.3594 0.3557 0.3520 0.3483 0.4 0.3446 0.3409 0.3372 0.3336 0.3300 0.3264 0.3228 0.3192 0.3156 0.3121 0.5 0.3085 0.3050 0.3015 0.2981 0.2946 0.2912 0.2877 0.2843 0.2810 0.2776 0.6 0.2743 0.2709 0.2676 0.2643 0.2611 0.2578 0.2546 0.2514 0.2483 0.2451 0.7 0.2420 0.2389 0.2358 0.2327 0.2296 0.2266 0.2236 0.2206 0.2177 0.2148 0.8 0.2119 0.2090 0.2061 0.2033 0.2005 0.1977 0.1949 0.1922 0.1894 0.1867 0.9 0.1841 0.1814 0.1788 0.1762 0.1736 0.1711 0.1685 0.1660 0.1635 0.1611 1.0 0.1587 0.1562 0.1539 0.1515 0.1492 0.1469 0.1446 0.1423 0.1401 0.1379 1.1 0.1357 0.1335 0.1314 0.1292 0.1271 0.1251 0.1230 0.1210 0.1190 0.1170 1.2 0.1151 0.1131 0.1112 0.1093 0.1075 0.1056 0.1038 0.1020 0.1003 0.0985 1.3 0.0968 0.0951 0.0934 0.0918 0.0901 0.0885 0.0869 0.0853 0.0838 0.0823 1.4 0.0808 0.0793 0.0778 0.0764 0.0749 0.0735 0.0721 0.0708 0.0694 0.0681 1.5 0.0668 0.0655 0.0643 0.0630 0.0618 0.0606 0.0594 0.0582 0.0571 0.0559 1.6 0.0548 0.0537 0.0526 0.0516 0.0505 0.0495 0.0485 0.0475 0.0465 0.0455 1.7 0.0446 0.0436 0.0427 0.0418 0.0409 0.0401 0.0392 0.0384 0.0375 0.0367 1.8 0.0359 0.0351 0.0344 0.0336 0.0329 0.0322 0.0314 0.0307 0.0301 0.0294 1.9 0.0287 0.0281 0.0274 0.0268 0.0262 0.0256 0.0250 0.0244 0.0239 0.0233 2.0 0.0228 0.0222 0.0217 0.0212 0.0207 0.0202 0.0197 0.0192 0.0188 0.0183 2.1 0.0179 0.0174 0.0170 0.0166 0.0162 0.0158 0.0154 0.0150 0.0146 0.0143 2.2 0.0139 0.0136 0.0132 0.0129 0.0125 0.0122 0.0119 0.0116 0.0113 0.0110 2.3 0.0107 0.0104 0.0102 0.0099 0.0096 0.0094 0.0091 0.0089 0.0087 0.0084 2.4 0.0082 0.0080 0.0078 0.0075 0.0073 0.0071 0.0069 0.0068 0.0066 0.0064 2.5 0.0062 0.0060 0.0059 0.0057 0.0055 0.0054 0.0052 0.0051 0.0049 0.0048 2.6 0.0047 0.0045 0.0044 0.0043 0.0041 0.0040 0.0039 0.0038 0.0037 0.0036 2.7 0.0035 0.0034 0.0033 0.0032 0.0031 0.0030 0.0029 0.0028 0.0027 0.0026 2.8 0.0026 0.0025 0.0024 0.0023 0.0023 0.0022 0.0021 0.0021 0.0020 0.0019 2.9 0.0019 0.0018 0.0018 0.0017 0.0016 0.0016 0.0015 0.0015 0.0014 0.0014 3.0 0.0013 0.0013 0.0013 0.0012 0.0012 0.0011 0.0011 0.0011 0.0010 0.0010