統計 110 年統計學概要考古題

某單位250 人中，100 人訂A 報，125 人訂B 週刊，75 人兩種都沒訂。 求兩者都訂的機率。（7 分） 兩事件（訂A 報，訂B 週刊）是否獨立？說明之。（8 分）

110年公務人員普通考試試題 類 科：統計 科 目：統計學概要 考試時間：1 小時30 分 座號： 不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上，於本試題上作答者，不予計分。 本科目除專門名詞或數理公式外，應使用本國文字作答。 參考值： z0.006=2.51，z0.01=2.33，z0.025=1.96，z0.05=1.65，z0.1=1.28， t0.025, 8=2.31，t0.025, 9=2.26，t0.05, 8=1.86，t0.05, 9 =1.83， χ3, 0.025 2 =9.35，χ4, 0.025 2 =11.14，χ5, 0.025 2 =12.83，χ3, 0.05 2 =7.81，χ4, 0.05 2 =9.49，χ5, 0.05 2 =11.07 χ3, 0.1 2 =6.25，χ4, 0.1 2 =7.78，χ5, 0.1 2 =9.24 X 族人之平均身高為160 公分，標準差為10 公分。某製造商欲生產一 款長度為200 公分之床墊。假設床墊之長度必須比身長多出至少15 公 分方能讓使用者感覺舒適。 若不知X 族人身高之分配為何，試問約有多少比例族人使用此床墊感 覺舒適？（10 分） 若X 族人之身高服從常態分配，試問感覺舒適之比例為何？（10 分） 甲公司有4 名員工，月薪分別為4 萬、6 萬、8 萬、8 萬。經由簡單計算 已經求出母體平均數(ߤ)為6.5 萬，母體變異數(ߪଶ)為2.75 萬。今擬以抽 後不放回的方式抽取2 名員工，得樣本平均數 ܺതଶ。將 ܺതଶ的平均數與變 異數分別記為ߤ௑തమ與(ߪ௑തమ)ଶ。 試寫出ܺതଶ之機率分配，並依此計算ߤ௑തమ與(ߪ௑തమ)ଶ。（10 分） 假設母體個數為N，以抽後不放回的方式抽取n個值，將樣本平均數之 變異數記為(ߪ௑ത೙)ଶ。在考量有限母體修正係數之下，試寫出(ߪ௑ത೙)ଶ與ߪଶ 之關係式。（5 分） 當樣本數n遠小於母體數N時，試問中之修正係數近似何值？（5 分） 甲乙丙為三名職棒左打者，下表為去年此三名打者面對左投手與右投手 時之表現。 打數（左投）安打數（左投） 打數（右投） 安打數（右投） 甲 224 63 532 116 乙 245 49 567 238 丙 231 35 525 147 棒球打擊率之計算公式如下：打擊率＝安打數/打數 試分別計算甲乙丙於左投時之打擊率的95%信賴區間，並依此兩兩比 較（甲、乙）、（乙、丙）、（甲、丙）面對左投手時之打擊率是否不同？ （10 分） 在顯著水準0.1 下，試檢定甲打者面對左投與右投時，打擊率是否不同？ （10 分） A 辦事處使用抽號機供訪客抽取號碼，並使用叫號機呼叫訪客前往櫃檯 接受服務。根據過去一週抽號機與叫號機之紀錄，製作訪客到訪之等候 時間（分鐘）與人次如下： 等候時間 （0, 5） [5, 10） [10, 15） [15, 20） [20, 30） 人次 147 65 22 9 7 試求平均等候時間。（5 分） 在顯著水準0.1 下，試檢定等候時間是否服從指數分配。（期望值為ߣ 的指數分配之機率密度函數為݂(ݔ) = (1/ߣ)݁ି௫/ఒ, ݔ≥0；累積機率分 配函數為ܨ(ݔ) = 1 − ݁ି௫/ఒ, ݔ≥0。）（10 分） 賈先生欲購買一輛油電混合二手車。他蒐集一組隨機樣本，其中車齡 （年）與價格（萬元）之資料如下： X：車齡 8 3 6 5 5 2 8 10 9 8 Y：價格 55 145 82 68 100 140 35 40 65 70 已經算出ܵ௫௫= ߑ(ݔ−ݔ¯)ଶ= 62.4，ܵ௬௬= ߑ(ݕ−ݕ¯)ଶ= 12948， ߑ(ݔ−ݔ¯)(ݕ−ݕ¯) = −808。 在顯著水準0.05 下，試檢定車齡與價格之相關係數是否為負值。（5 分） 考慮以價格為依變數、車齡為因變數之線性回歸模型。試求出回歸方 程式，並於顯著水準0.05 下，試檢定斜率係數是否為負值。（10 分） 試比較之檢定統計量之異同。（5 分） 試求出判定係數，並說明其意義。（5 分）

已知ܺଵ, … , ܺସ為期望值ߤ、變異數σଶ的隨機變數。令ܺത= （ܺଵ+ ܺଶ+ ܺଷ+ ܺସ）/4。 試求 1 ( 1.5 ) P X     的最小值。（5 分） 試求( 1.5 ) P X     的最小值。（5 分） 若ܺଵ, … , ܺସ服從常態分配，試求 1 ( 1.5 ) P X     。（5 分） 同，試求( 1.5 ) P X     。（5 分）

某單位接受客戶委託進行民意調查以了解某政策之支持率；假設一份有 效樣本之成本為100 元。 若客戶要求抽樣誤差在正負2 個百分點內，且信心水準需達95%，則 調查所需成本為何？（10 分） 若客戶要求抽樣誤差在正負2 個百分點內，但願意支付之經費為 160,000 元（即最多1,600 份有效問卷）。試問在此限制下之信心水準 為多少？（10 分）

某醫院想測試三種不同牆壁材質之靜音效果。在其三個樓層的建築中， 每層隨機選12 間房，這12 間隨機均勻分配到三種材質其中一種。實驗 總共蒐集到36 個測量值。 說明此種實驗的名稱。（5 分） 以「樓層」和「材質」執行含有交互作用的二因子變異數分析（two- way ANOVA）得到以下變異數分析表： Source DF SS MS 材質 2 250.48 125.24 樓層 2 413.92 206.96 樓層*材質 4 64.21 16.052 Error 27 339.6 12.578 在顯著水準0.05 之下，試檢定三種材質效果是否有差異。（10 分）

設x 為身高，y 為體重。分析師甲以y 對x 做線性迴歸，得估計式 ݕ= ߚመ଴+ ߚመଵݔ。乙以x 對y 做線性迴歸，得估計式ݔ= ߛො଴+ ߛොଵݕ。 若身高單位由公分改成公尺，體重單位不變，試問新迴歸式的ߚመଵ、ߛොଵ 是否改變？和原來的估計之關係為何？（10 分） 同，試問檢定ܪ଴：ߚଵ= 0的t -檢定統計量會如何改變？（t -檢定統計 量為ߚመଵ/se(ߚመଵ), 其中se(ߚመଵ)為ߚመଵ的標準誤（standard error））。（10 分） 試以ߚመ଴、ߛො଴、ߚመଵ、ߛොଵ表示x 和y 的相關係數ρ。（10 分） 註：本試題可能使用之數值如下： √2 ≒1.414，√3 ≒1.732，√5 ≒2.236，√7 ≒2.646 標準常態分配表P（Z < Zα）