統計 110 年統計學考古題

令X1 表示自北北基隨機調查n1 人，回答支持A 案公投的人數；p1 表示A 案公投在北北基的母體支持率。令X2 表示自高屏區隨機調查n2 人，回答 支持A 案公投的人數；p2 表示A 案公投在高屏區的母體支持率。 pi, i=1, 2 未知時，其最佳估計量( ˆ ip )為何？（5 分） 試推導出 1

若E X 5) 10   ( 且

令ܺଵ與ܺଶ為具獨立同分布、期望值1 ߣ ⁄ 的指數（exponential）隨機變數。 令ܻଵ= ܺଵ−ܺଶ以及ܻଶ= ܺଶ。（每小題10 分，共20 分） 試求ܻଵ與ܻଶ之聯合機率密度函數。 試求ܻଵ之邊際機率密度函數。

ˆ ˆ p p  的期望值和變異數，並說明 1 2 ˆ ˆ p p  的分配。（10 分） 若n1=1200，X1=500，n2=900，X2=300。在顯著水準為0.1 之下，試檢 定兩區的A 案支持率是否相等？（寫出虛無假設和對立假設，並說明 檢定統計量之分配及檢定之結果。）（10 分） 二、一種金屬重量（單位：g）假設為常態分配，平均值和變異數分別為(, 2 )， 即 2 ~ ( , ) X N  。值未知，但 2 值已知。 隨機抽取一樣本，樣本大小為n。在顯著水準為0.05 下，檢定 0 : 10 H  ， 1 : 10 H  。 檢定統計量為何？其分配為何？（5 分） 假設樣本平均值 12 x  ， 9 ，欲使檢定結果拒絕H0，n 最少應該為多 少？（5 分） 續題，在n =144 之下，請分別計算在=12, 14 之型II 誤差機率(β)， 並畫出檢定力曲線圖（power curve）（請標示清楚橫軸及縱軸，和=10, 12, 14 的對應機率值）。（20 分）

E X 5 125     ( ＋) ＝ ： 求 x ? （10 分） 求 2 x ?  （10 分） 二、若 2 4 ( | ) 1 4 y x f y x x    且 1 ( ) (1 4 )

令ܺଵ, ܺଶ, . . . , ܺ௡為一組隨機抽自常態分配N(0,ߪଶ)之樣本。假設ߪଵ ଶ> ߪ଴ ଶ， 在顯著水準0.05 下： 試求檢定 ܪ଴：ߪଶ= ߪ଴ ଶvs. ܪଵ：ߪଶ= ߪଵ ଶ 的最強力檢定（most powerful test）。（10 分） 試求檢定 ܪ଴：ߪଶ= ߪ଴ ଶvs. ܪଵ：ߪଶ> ߪ଴ ଶ 的齊一最強力檢定 （uniformly most powerful test）。（5 分） 說明檢定ܪ଴：ߪଶ= ߪ଴ ଶvs. ܪଵ：ߪଶ≠ߪ଴ ଶ的齊一最強力檢定是否存 在。（5 分）

工程師研究電壓大小和溫度高低對手機壽命的影響。在指定的2 種不同電 壓（100 V, 200 V）和2 種不同溫度（25℃, 35℃）的組合下分別量測手機 壽命（單位：千小時）；不同電壓和不同溫度組合下的實驗各反覆做2 次， 且所有實驗順序是隨機的。電壓大小和溫度高低組合下的手機壽命如表1 所示。 表1 手機壽命 溫度（℃） 電壓（V） 總和 100 200 25 12, 16 10, 12 50 35 8, 10 6, 8 32 總和 46 36 82 這是那種實驗設計（即實驗設計的名稱為何）？（5 分） 寫出變異數分析的固定效應模式（fixed effects model）及假設。（10 分） 列出變異數分析表並檢定電壓，溫度和交互作用是否是影響手機壽命的 顯著因子，顯著水準α=0.05。（10 分）

f x x   ，其中0 < ݔ< 1且0 < ݕ< 1。求ܻ 的邊際機率。（20 分） 三、研究員想要了解抽不抽菸是否與壽命的長短有關，因此隨機抽查400 位 非意外死亡的民眾，結果如下： 壽命 50 以下 50-60 60-70 70-80 80 以上 抽菸 38 47 43 32 34 不抽菸 30 55 51 37 33 試在α＝0.05 下，以卡方檢定，檢定抽不抽菸是否與壽命的長短有關？ 註： 2 0.05(4) 9.49   。（20 分）

以下是(ܺ, ܻ)兩變數之觀測資料： X 11 9 14 10 12 15 7 5 13 8 6 Y 7.46 6.77 12.74 7.11 7.81 8.84 6.08 5.39 8.15 6.42 5.73 以下考慮皮爾森相關係數（Pearson’s correlation coefficient ݎ）與皮爾曼 等級相關係數（Spearman’s rank correlation coefficient ݎ௦）。 試畫出(ܺ, ܻ)之散布圖，並試計算ݎ與ݎ௦。（10 分） 試刪去本數據中之離群子後，重新計算ݎ與ݎ௦。（5 分） 試問ݎ與ݎ௦何者容易受離群子影響？（5 分）

假設隨機變數X 服從指數分配，已知其期望值()為0.5 且變異數( 2 )為 0.25。 令L0 = μ，L1 = X 的中位數，L2 = μ 3  。 計算P(X < L1)之機率值，並求L1 的值。（5 分） 計算P(X < L1, X > L0)之機率值。（5 分） 自母體中連續抽取5 個數值，計算最多有1 個數值落在L1 和L0 區間或 L0 和L2 區間之機率。（10 分） 附表: Z 值表 N(0, 1) N(0, 1) α Zα Zα/2 0.4 0.3 0.2 0.1 Φ(z) 0.4 0.3 0.2 0.1 附表: F0.05 (v1, v2) 值表

由A、B、C 三條生產相同食品的生產線中，各抽取4 件產品，得其平均 數分別為348、353、356 公克，標準差分別為 47 57 61 3 3 3 、 、 公克。試求 共同變異數之95%信賴區間。註： 2 0.025(9) 19.0228   ， 2 0.975(9) 2.7004   。 （20 分）

甲公司之零件製造部門有三台機器，輪流由五名員工（ABCDE）負責操 作。李主任擬研究不同機器以及不同員工之生產量是否不同。以下是隨 機抽取之生產量資料： 機器一 機器二 機器三 員工A 31 25 35 員工B 33 26 33 員工C 28 24 30 員工D 30 29 28 員工E 28 26 27 試寫出ANOVA 表（Analysis of Variance Table）。（5 分） 在顯著水準0.05 下，試檢定不同機器之生產量是否不同。（5 分） 在顯著水準0.05 下，試檢定不同員工之生產量是否不同。（5 分） 試寫出模型假設。（5 分）

若 2 2 ( ), 0 ( ) 0, x x f x           其他 ，其中θ＞0。請利用動差法求θ，即MME  。 （20 分）

乙公司從2018年第一季至2020年第四季之銷售量如下表所示： 第一季 第二季 第三季 第四季 2018 1,600 2,500 2,800 2,970 2019 2,100 3,100 3,650 3,350 2020 2,250 3,250 3,840 3,860 假設該公司近年第一至四季的季節指數分別為74.720、103.978、 123.761、97.540。 試計算去除季節因子之銷售量。（5 分） 考慮簡單線性模型ݕ௧= ߙ+ ߚݐ+ ݁௧，試求出去除季節因子之銷售量 的趨勢估計式，並在0.05 顯著水準下檢定斜率是否為零。（10 分） 試預測2021 年第一至四季之銷售量。（5 分）