統計 110 年統計學考古題

令X1 表示自北北基隨機調查n1 人，回答支持A 案公投的人數；p1 表示A 案公投在北北基的母體支持率。令X2 表示自高屏區隨機調查n2 人，回答 支持A 案公投的人數；p2 表示A 案公投在高屏區的母體支持率。 ㈠pi, i=1, 2 未知時，其最佳估計量( ˆ ip )為何？（5 分） ㈡試推導出 1

ˆ ˆ p p 的期望值和變異數，並說明 1 2 ˆ ˆ p p 的分配。（10 分） ㈢若n1=1200，X1=500，n2=900，X2=300。在顯著水準為0.1 之下，試檢 定兩區的A 案支持率是否相等？（寫出虛無假設和對立假設，並說明 檢定統計量之分配及檢定之結果。）（10 分） 二、一種金屬重量（單位：g）假設為常態分配，平均值和變異數分別為(, 2 )， 即 2 ~ ( , ) X N 。值未知，但 2 值已知。 隨機抽取一樣本，樣本大小為n。在顯著水準為0.05 下，檢定 0 : 10 H ， 1 : 10 H 。 ㈠檢定統計量為何？其分配為何？（5 分） ㈡假設樣本平均值 12 x ， 9 ，欲使檢定結果拒絕H0，n 最少應該為多 少？（5 分） ㈢續題㈡，在n =144 之下，請分別計算在=12, 14 之型II 誤差機率(β)， 並畫出檢定力曲線圖（power curve）（請標示清楚橫軸及縱軸，和=10, 12, 14 的對應機率值）。（20 分）

工程師研究電壓大小和溫度高低對手機壽命的影響。在指定的2 種不同電 壓（100 V, 200 V）和2 種不同溫度（25℃, 35℃）的組合下分別量測手機 壽命（單位：千小時）；不同電壓和不同溫度組合下的實驗各反覆做2 次， 且所有實驗順序是隨機的。電壓大小和溫度高低組合下的手機壽命如表1 所示。 表1 手機壽命 溫度（℃） 電壓（V） 總和 100 200 25 12, 16 10, 12 50 35 8, 10 6, 8 32 總和 46 36 82 ㈠這是那種實驗設計（即實驗設計的名稱為何）？（5 分） ㈡寫出變異數分析的固定效應模式（fixed effects model）及假設。（10 分） ㈢列出變異數分析表並檢定電壓，溫度和交互作用是否是影響手機壽命的 顯著因子，顯著水準α=0.05。（10 分）

假設隨機變數X 服從指數分配，已知其期望值()為0.5 且變異數( 2 )為 0.25。 令L0 = μ，L1 = X 的中位數，L2 = μ 3 。 ㈠計算P(X < L1)之機率值，並求L1 的值。（5 分） ㈡計算P(X < L1, X > L0)之機率值。（5 分） ㈢自母體中連續抽取5 個數值，計算最多有1 個數值落在L1 和L0 區間或 L0 和L2 區間之機率。（10 分） 附表: Z 值表 N(0, 1) N(0, 1) α Zα Zα/2 0.4 0.3 0.2 0.1 Φ(z) 0.4 0.3 0.2 0.1 附表: F0.05 (v1, v2) 值表

若 2 2 ( ), 0 ( ) 0, x x f x 其他 ，其中θ＞0。請利用動差法求θ，即MME 。 （20 分）