統計 102 年統計學考古題

某代理商旗下所代理的某品牌手機，其進價成本每台為$5,000 元，市售價格為 $10,000 元，假設該品牌手機的壽命服從平均數為2（年）的指數分配，而該品牌手 機代理商的保固政策如下： z 如果該品牌手機在客戶購買後第1 年內（含）故障，則無條件更新手機給客 戶。（更新以1 次為限，更新成本由該品牌手機代理商自行吸收，出貨廠商 不負責，即代理商更新成本為進貨成本價$5,000 元） z 如果該品牌手機在客戶購買後第1 年至第2 年間（含）故障，則以市售價格 的1/4 價賠償客戶。 試問，今售出100 台該品牌手機，則該品牌手機代理商的預期利得（金額）為何？ （20 分） （註：計算過程中，常數e（自然對數函數的底數）請取2.718，機率值請四捨五入 取至小數第4 位運算之。）

假設一般民眾使用自動提款機（ATM）一次所花費的時間為一常態分配，且其均數 為90 秒，標準差為10 秒。現在一ATM，有3 個人排在某甲之前等待使用，若假設 T 為此3 個人使用此一ATM 所需之總時間。 ㈠若此3 人使用ATM 的時間為互相獨立，請寫出T 之分配及其均數與標準差。 （8 分） ㈡若某甲希望這3 個人使用之總時間能少於4 分鐘，請計算此一機率為何？（7 分）

從參數為λ 的指數分配中，隨機抽出一組樣本（大小是5 個），說明此樣本中位數 並不是母體中位數的不偏估計量。（13 分）

簡單線性無截距項（non-intercept）迴歸分析模式(*)如下式： n , ,2 ,1 i, x y i i i K = ε + β = (*) 求β的最小平方估計式β。（10 分） ˆ 假設誤差項 是獨立同態i.i.d.且服從常態分配，即 ，則試問簡單線 性無截距項迴歸分析模式(*)中， iε ) ,0 ( ε 2 . .. i σ N d i i～ β最小平方估計式β的抽樣分配為何？（10 分） ˆ 試問最小平方估計式β是否為 ˆ β的不偏估計式？請寫出正確理由否則不予計分。 （5 分）

令Y 之機率密度函數為 其他 ， ， 2 0 0 ) 2 ( ) ( ≤ ≤ ⎩ ⎨ ⎧ − = y y k y f 求得k 值，使其滿足f 為一機率密度函數。（10 分） 求Y 之累積機率密度函數，即F(y)。（10 分） 計算 2) (1 ≤ ≤Y P 之值。（5 分）

若指數分配其參數為λ ，當檢定 0 0 H λ λ = ： vs. 0 a H λ λ > ： ，導出概似比檢定 （likelihood ratio test），並以x表示之。（13 分）

假設某位立委針對新的年金改革方案進行意見調查，得到以下的資料： 職業 意見 藍領階級 白領階級 其他職業類型 贊成 66 23 79 反對 18 50 42 沒意見 36 16 38 試問在顯著水準0.05 下，有足夠的證據顯示不同職業類別的人對該年金改革方案的 意見有關聯嗎？（15 分） （註：請寫出完整假設檢定步驟，在計算檢定統計量時，請先清楚標示數學列式和 理論次數值，其中理論次數值請四捨五入取至小數第2 位，中間所有運算過程亦以 小數2 位為之。請注意，若未正確列式將無法計分。） 102年公務人員特種考試關務人員考試、102年公務人員特種考試稅 務人員考試、102年公務人員特種考試海岸巡防人員考試、102年公 務人員特種考試移民行政人員考試、102年特種考試退除役軍人轉 任公務人員考試及102年國軍上校以上軍官轉任公務人員考試試題 類(科)別： 關稅統計 （請接第三頁） 全四頁 第二頁

某一研究者想估計贊成或反對核電的比例。 若此研究者依全臺電話簿，成功隨機抽取400 個成年人，在95%的信心水準下， 此一調查之近似邊際誤差（margin of error）為何？（5 分） 在95%的信心水準下，若該研究者希望近似邊際誤差為2%，則需要多少樣本？ （5 分） （請接第二頁） 102年公務人員升官等考試、102年關務人員升官等考試 102年交通事業郵政、港務、公路人員升資考試試題 代號： 等別(級)： 薦任 類科(別)： 統計、經建行政 全四頁 第二頁 21450 22150

王研究員想研究3 種廠牌咖啡的口味是否有顯著差異，找了6 位品評員做測試，每 位都隨機次序品嚐這3 種廠牌的咖啡，評分結果如下： 若對廠牌A、B 及C 評分，是服從常態分配，且變異數都相等。在 0.05 ＝ α ，試問 廠牌A、B 及C 評分是否有相同的平均數？（15 分）

根據某研究蒐集到的一組500 筆資料計算後，得其樣本平均數為35、樣本標準差為 4，另外其所繪製的直方圖顯示該組資料分配是極度右偏，試問： 根據以上資訊，應該有多少筆資料會落在29.4 和40.6 中間？（4 分） 根據以上資訊，應該有多少筆資料會落在27 和41 中間？（4 分） 您答案的理論依據是甚麼？（2 分）

A 銀行想比較兩家房仲公司（甲不動產及乙房屋）對房屋鑑（估）價之差異，因此 在某一行政區隨機挑選了十間住宅房屋請此兩家公司分別進行估價。其結果如下表： 房屋編號 甲不動產 乙房屋 1 14.5 13.7 2 11.1 10.4 3 12.9 11.7 4 10.5 9.8

從一母體為{1, 2, 3, 4}，隨機抽出n = 2 個為樣本。每抽一個元素為1、3 或4 的機 率各為0.2，抽中2 的機率為0.4，採用取出放回的抽樣法。設 ∑ = = n i i iy n 1 1 ˆ δ τ ，其中 iy 為第i 次抽中的元素， iδ 為抽中的元素 iy 的機率。詳細說明E(τˆ) =τ （τ 為母體元素 總和）是否成立？ （15 分）

假設有一強颱可能在下週一時來襲，市政府機關得提前決定是否要停止上班上課， 若定義假設如下： ：強颱不會來襲 ：強颱會來襲 1 0 . H vs H 若市政府機關判定強颱可能不會來，因此決定如期上班上課，但強颱一如預期在下 週一期間來襲，則市政府機關的決策是犯了型I 或型II 那個誤差？請同時定義該誤 差。（5 分） 六、何謂平穩型的時間數列？（5 分） 根據下列所蒐集某特定地區觀光團數的時間數列資料，請以退化平滑因子（ smoothing constant） 94 .0 = ω 來建構指數平滑法（exponentially smoothed time series）時間數列。（10 分）（計算過程請列式，中間所有運算過程以小數2 位 計算之。） 期數 1 2 3 4 5

14.9 14.4

若 1 X 、 2 X 、…、 5 X 是服從N(0, 2 σ )且互相獨立。求k 值，使得 2 5 2 4 2 3 2 1 ) ( X X X X X k + + − 為 一個t 分配，並求此t 分配的自由度為何？（9 分） 品評員 1 2 3 4 5

12.5 12.2

廠牌A 8

11.0 11.5

4 5 7 6 廠牌B 5 3 4 4 3 4 廠牌C 4 6 3 2 5 1 102年公務人員高等考試三級考試試題 類 科： 統計 全一張 （背面） 六、有一研究員從4 家類似的公司，隨機各抽取11 位員工進行考試，所得考試分數結 果之ANOVA 表如下： 變異來源 平方和 自由度 均方和 F p-值 公司 1154 (a) (c) (d) 誤差 109.475 總和 (b) 計算出(a)、(b)、(c)及(d)之數值。（8 分） 若其中兩家公司之考試資料分別為x 與 y ，且∑ = 11 1 i ix =630 ，∑ = 11 1 i iy =592 ， ∑ = − 11 1 2) ( i i x x = 998.2，∑ = − 11 1 2) ( i i y y = 779.6。假設 0.05 = α ，檢定兩家公司員工之平均 考試分數是否相同？假設兩家員工考試資料的變異數相等。（8 分） 以上與之結果，是否有矛盾的現象？（4 分） 七、有一機率密度函數 θ /1 ) f( = y ， θ ≤ ≤y 0 。在顯著水準 0.10 = α 之下，欲檢定 H0：θ =2.0 vs. Ha：θ <2.0，所採用檢定統計量為 { }

9 10 觀光團數 12 35 28 25 31 20 15 17 38 40 七、某大專院校系所針對應屆畢業生從事三個不同職業類別工作的起薪（K）進行調查， 假設得到下列的資料： 職業別 補教業 製造業 服務業 樣本數 5 1 = n 4 2 = n 6 3 = n 樣本平均數 6. 27 1 = x 25 . 39 2 = x 67 . 34 3 = x 樣本變異數 3. 22 2 1 = s 58 . 35 2 2 = s 07 . 177 2 3 = s 請建構進行三種職業別工作平均起薪是否有差異檢定所對應的變異數分析表 （ANOVA table）。（5 分） 以顯著水準0.05 進行三種職業別工作平均起薪是否有差異之檢定？（5 分） （註：請寫出完整假設檢定步驟，中間所有運算過程請四捨五入取至小數第2 位 計算之。） 102年公務人員特種考試關務人員考試、102年公務人員特種考試稅 務人員考試、102年公務人員特種考試海岸巡防人員考試、102年公 務人員特種考試移民行政人員考試、102年特種考試退除役軍人轉 任公務人員考試及102年國軍上校以上軍官轉任公務人員考試試題 類(科)別： 關稅統計 （請接第四頁） 全四頁 第三頁 102年公務人員特種考試關務人員考試、102年公務人員特種考試稅 務人員考試、102年公務人員特種考試海岸巡防人員考試、102年公 務人員特種考試移民行政人員考試、102年特種考試退除役軍人轉 任公務人員考試及102年國軍上校以上軍官轉任公務人員考試試題 類(科)別： 關稅統計 全四頁 第 （請接第三頁） （請接第三頁） 四頁 102年公務人員特種考試關務人員考試、102年公務人員特種考試稅 務人員考試、102年公務人員特種考試海岸巡防人員考試、102年公 務人員特種考試移民行政人員考試、102年特種考試退除役軍人轉 任公務人員考試及102年國軍上校以上軍官轉任公務人員考試試題 類(科)別： 關稅統計 全四頁 第四頁

13.1 12.7 9 12.9 12.2 10 14.2 13.8 單位：新臺幣佰萬元整 假設此兩家公司鑑價的價格皆為常態分配，請回答以下問題。 估計乙房屋的鑑價價格之母體平均數的95%信賴區間。（10 分） 在顯著水準為.05 的狀況下，請檢定甲不動產及乙房屋兩家公司房屋鑑價的價格 之母體平均數是否相等？（10 分） 估計甲不動產及乙房屋兩家公司鑑價價格之相關係數。（10 分） 若以甲不動產的鑑價價格為解釋變數，乙房屋的鑑價價格為反應變數，請建立一 條簡單線性迴歸模型，並說明此模型所需之假設。（10 分） 估計之簡單線性迴歸模型的係數。（10 分） （請接第三頁） 102年公務人員升官等考試、102年關務人員升官等考試 102年交通事業郵政、港務、公路人員升資考試試題 代號： 等別(級)： 薦任 類科(別)： 統計、經建行政 21450 22150 全四頁 第三頁 （請接第四頁） 102年公務人員升官等考試、102年關務人員升官等考試 102年交通事業郵政、港務、公路人員升資考試試題 代號： 等別(級)： 薦任 類科(別)： 統計、經建行政 全四頁 第四頁 21450 22150

2 1 ) 8 ( , ... , , max y y y Y = ，當θ = 1.7 時，犯型二誤差（type II error）的機率為多少？（15 分）