統計 111 年統計學考古題

假設隨機變數 X 服從指數分配，其機率密度函數為 ( ) , 0, 0 x f x e x       。令μ 為其期望值，且σ 為標準差。（每小題5 分，共25 分） 計算機率P（X>μ+σ）。 令Md 為此指數分配之中位數，試計算Md。 計算隨機變數X 介於中位數和平均數之間的機率。 自母體隨機抽取一隨機樣本，樣本大小（sample size）為5。至少 有一個變數值介於中位數和平均數之間的機率為何？ 計算條件機率P（X>Md|X>μ）。

隨機變數X 服從指數分配，其機率密度函數為 , if x 0 ( ) 0, if x 0 x e f x       。 （已知自然對數值：ln(0.05)≒-3, ln(0.25)≒-1.386, ln(0.5)≒-0.693, ln(0.75)≒-0.288, ln(0.95)≒-0.051）（每小題10 分，共20 分） 請計算其「中位數」及「期望值」。 請計算其四分位距（interquartile range）。

大意公司是車用電池製造商，隨機抽取12 件電池並測試其電池壽命， 電池壽命單位如下：（1 單位：100 小時） 25, 50, 45, 55, 45, 28, 35, 42, 25, 30, 32, 38. 工程師想要以統計假設檢定方法檢定電池壽命的中位數是否為30 單 位，顯著水準為0.05。 寫出虛無假設和對立假設，以符號檢定（sign test）方法檢定之，並 說明檢定統計量在虛無假設為真下的分配和檢定結果。（10 分） 電池壽命假設為常態分配。請檢定電池壽命的中位數是否為30 單 位。寫出檢定統計量在虛無假設為真下的分配，計算p 值（p-value） 並說明檢定結果。此外，請說明題和的檢定統計量使用上的差 異。（10 分）

研究者自某未知分配之母體A，收集了樣本 1 n X X  ；自另一母體B， 收集樣本 1 m Y Y  。 請描述中央極限定理，及使其成立所需要的假設。（14 分） 若想比較母體A 與B 的中心點是否有差異，如何應用中央極限定理及 其他機率性質？（6 分）

自三個獨立的常態母體分別抽取樣本，其樣本大小，樣本平均值和樣 本變異數分別如下： 2 1 1 1 ( 16, 62, 55), n x s    2 2 2 2 ( 16, 66, 53), n x s    2 3 3 3 ( 8, 44, 62) n x s    若三個母體變異數都相等，其不偏估計量為何？（5 分） 證明上題的不偏估評估量（unbiased estimator）確實具有不偏性。 （5 分） 若三個母體變異數都相等，估計母體變異數的95%信賴區間 （confidence interval）。（5 分） 在三個母體變異數都相等下，檢定三個母體平均值是否全部相等。 列出變異數分析表（ANOVA Table），並說明檢定結果。顯著水準 為0.05。（10 分） 由題的檢定結果，再據以檢定是否μ2（第二個母體平均值）大 於μ1（第一個母體平均值）？計算p 值，並說明檢定結果。顯著 水準為0.05。（5 分） 註：若分配的自由度不在附表裡，則以附表裡最接近的自由度代替以 決定臨界值。

A、B、C 為三種硬幣，其正面的概率分別為1/3, 1/2, 2/3。今隨機選了一 個，拋8 次，得到5 次正面3 次反面。（每小題10 分，共20 分） 以似然比（Likelihood ratio）方法估計這是那個硬幣的可能性最大。 若A 硬幣有3 個，B 硬幣有2 個，C 硬幣有1 個；從這6 個隨機選一 個拋8 次，得5 次正面3 次反面。以似然比方法估計這是那種硬幣。

大千3C 公司的銷售經理想知道硬碟的銷售量是否受價格影響。隨機 抽取10 筆不同價格下硬碟的銷售量，其數據如下：（單位：百元） No. 1 2 3 4

令݈݋݃為以10 為底的對數、ɛ為期望值0 的誤差。y和x 的關係可以下式 表達：݈݋݃(ݕ௜) = 1 + β ∙ݔ௜+ ɛ。 請導出β的最小平方法估計公式。（20 分）

以下為A、B 兩組中風病人手術後復發的時間（以年為單位）。 A 4.2, 6.5, 7.9, 13.2, 16 B 0.4, 1.2, 2.9, 5.6, 6.7 以Wilcoxon rank sum 檢定，在α = 0.05 顯著水準下檢定H1：A 組的術後 效果較好。需列計算過程，不能用逼近方法。需算出p-value。（20 分）

9 10 價格 30 32 34 35 36 37 38 39 40 42 銷售量 9 6 3 5 4 3 2 2 2 1 畫出銷售量和價格的散布圖（scatter plot）。（5 分） 依據上題的散布圖，寫出迴歸方程式和其誤差項的假設。（5 分） 以最小平方誤差法（least squares error method）估計上題中迴歸方 程式的斜率值。（5 分） 計算誤差變異數的估計值。（5 分） 對迴歸方程式中的斜率檢定是否為零？顯著水準為0.05。（5 分） 附表：標準常態分配的累積機率 附表：t值表 附表： 2 表 卡方分配臨界值表 附表：F0.05 (v1, v2)值表 (v1) (v2) 附表：二項分配機率表