統計 103 年統計學考古題

一電阻能消耗的電力（W）與電壓（V）的平方成比例，即W=3V2。若通過電阻之 電壓V 呈平均值為6，變異數為1 之常態分布。 ㈠試求 W 之期望值，E(W)。（5 分） ㈡試求 W 在120 以上之機率。（10 分）

在一很大的母體中，已知某族群所占的比例介於(0.2,0.35)間，若要求抽樣結果該比 例之估計誤差在1%內，而信賴度（confidence level）為95%，試求所需的最小樣本 數。（10 分）

資料23 39 19 43 33 29 28 42 18 33 23 34 33 20 31 40 為隨機抽取的一組 樣本，試檢定其母體四分位數（quartile）是否為21，求其p-value。（答案不須乘 開，寫出公式即可。）（10 分）

若Y1, Y2,…, Yn 為獨立同分布之常態隨機變數，其期望值為μ，變異數為σ2；μ 和 σ2 皆未知。試求信賴水準為(1-α)100%時，期望值μ 之信賴區間長度的期望值。 （10 分）

下表分別為十位參加減重班的學員參加前與參加後的體重紀錄（Kg）： 參加減重班前 70 73 95 80 60 86 65 90 78 66 參加減重班後 65 71 89 82 60 83 66 86 75 65 若體重皆符合常態分配，試根據上述資料檢定該減重班是否具有顯著的減重功效？ (α=5%)（10 分）

下表是投擲一骰子 300 次所得各點數出現的次數。 點數 1 2 3 4 5 6 次數 35 60 52 65 55 33 在顯著水準α=5%下，請檢定該骰子是否為公平的骰子。（10 分）

在一項實驗中，欲研究使用一種藥性貼布是否有助於紓緩疼痛。實驗過程中隨機安 排患者使用外型相同的藥性貼布或無藥貼布，實驗結束時得數據如下： 紓緩疼痛 未紓緩 合計 使用藥性貼布 25 31 56 使用無藥貼布 10 40 50 試問實驗數據是否證實該藥性貼布可以顯著達到紓緩疼痛的效果？試以 p-value 做 結論。（15 分） 103年特種考試地方政府公務人員考試試題

若已知獨立資料(xi,yi), i=1,…, 5，分別為(-2,0), (-1,0), (0,1), (1,1), (2,3)，且滿足線性 模型yi = 1＋βxi＋εi，其中εi 為獨立同分布之N(0,σ2)隨機變數，i= 1,…, 5。 （每小題10 分，共20 分） ㈠ 試求斜率β 之最小平方估計（Least Squares Estimate）。 ㈡ 試檢定上述迴歸模型是否顯著，並寫出檢定統計量之分布。 表一：常態分布：內為大於z 之右尾機率P(Zz)=1-Φ(z)。 z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09 1.9 .0287 .0281 .0274 .0268 .0262 .0256 .0250 .0244 .0239 .0233 2.0 .0228 .0222 .0217 .0212 .0207 .0202 .0197 .0192 .0188 .0183 2.1 .0179 .0174 .0170 .0166 .0162 .0158 .0154 .0150 .0146 .0143 2.2 .0139 .0136 .0132 .0129 .0125 .0122 .0119 .0116 .0113 .0110 2.3 .0107 .0104 .0102 .0099 .0096 .0094 .0091 .0089 .0087 .0084 2.4 .0082 .0080 .0078 .0075 .0073 .0071 .0069 .0068 .0066 .0064 2.5 .0062 .0060 .0059 .0057 .0055 .0054 .0052 .0051 .0049 .0048 2.6 .0047 .0045 .0044 .0043 .0041 .0040 .0039 .0038 .0037 .0036 表二：T 分布：右尾機率為α 之臨界值 Tdf;α。 α .20 .10 .05 .025 .01 .005 df 3 0.978 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 4 0.941 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 5 0.920 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 6 0.906 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707 7 0.896 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 8 0.889 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355 9 0.883 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250 10 0.879 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169 11 0.876 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106 表三：卡方（Chi-square）分布：右尾機率為α 之臨界值 2 ; χ df 。 α .20 .10 .05 .025 .01 .005 df 3 4.64 6.25 7.81 9.35 11.34 12.84 4 5.99 7.78 9.49 11.14 13.28 14.86 5 7.29 9.24 11.07 12.83 15.09 16.75 6 8.56 10.64 12.59 14.45 16.81 18.55 7 9.80 12.02 14.07 16.01 18.48 20.28 表四：F 分布：右尾機率為α = 0.05 之臨界值Fn1,n2; α。 n1 1 2 3 4 5 6 n2 1 161.45 199.50 215.71 224.58 230.16 233.99 2 18.51 19.00 19.16 19.25 19.30 19.33 3 10.13 9.55 9.28 9.12 9.01 8.94 4 7.71 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 5 6.61 5.79 5.41 5.19 5.05 4.95 6 5.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28