統計 103 年統計學考古題

一電阻能消耗的電力（W）與電壓（V）的平方成比例，即W=3V2。若通過電阻之 電壓V 呈平均值為6，變異數為1 之常態分布。 試求 W 之期望值，E(W)。（5 分） 試求 W 在120 以上之機率。（10 分）

從一付撲克牌（共52 張）以抽後不放回的方式隨機抽出2 張，令X 代表紅桃之張 數，Y 代表黑色牌之張數。  試求X 與Y 之聯合機率分配。（5 分）  分別求出X 與Y 之邊際機率分配。（10 分）  求出Y 給定X= 1 之下的條件機率分配。（5 分）  求出Y 給定X= x 之下的條件機率分配。（5 分）

在一很大的母體中，已知某族群所占的比例介於(0.2,0.35)間，若要求抽樣結果該比 例之估計誤差在1%內，而信賴度（confidence level）為95%，試求所需的最小樣本 數。（10 分）

令 n 2 1 X ,..., X , X 為一組隨機抽自均勻分配（Uniform distribution）之樣本，其機率密 度函數為   其他 0 θ,0 x θ 1 ) (x fx     令X 代表樣本平均數。  試以動差法求得θ的點估計。（5 分）  試求θ的充分統計量。（5 分）  試求θ的最大概似估計。（5 分）  試驗證θ的最大概似估計並非θ的不偏估計。（5 分）  將θ的最大概似估計記作θ~ 。試求c 使得θ~ c 為θ的不偏估計。（5 分）  令 中之不偏估計為 。並令 。分別求 與 的變異數。（10 分）  當n>1，說明是否 相對於 的相對效率（relative efficiency）大於1？（5 分） （請接背面） 103年公務人員高等考試三級考試試題 全一張 （背面）

資料23 39 19 43 33 29 28 42 18 33 23 34 33 20 31 40 為隨機抽取的一組 樣本，試檢定其母體四分位數（quartile）是否為21，求其p-value。（答案不須乘 開，寫出公式即可。）（10 分）

王老師想瞭解學生在經過他所設計之聽力訓練後，英文聽力是否有進步，全班學生 在訓練前與訓練後分別接受難易度相似的英聽測驗。隨機從班上抽出20 名學生， 下表是這些學生訓練前後的成績差異。其中，成績差異=訓練後的成績–訓練前的 成績。 11.5 15.0 8.5 3.5 -4.5 -2.5 -8.0 7.5 10.0 20.0 -4.0 -1.5 14.0 -3.0 -6.5 18.0 -7.0 13.0 12.0 19.0 假設訓練前後的成績差異不是常態分配。將成績差異絕對值由小而大做排序，給予 對應之排名；舉例說明，第12 位學生成績差異的絕對值最小，所以排名為1，第6 位學生的排名為2，以此類推。令   20 1 i i) iU ( W ，其中 Ui= 1 若排名i 對應的成績差異是正數， = 0 若排名i 對應的成績差異是負數。  若該訓練對學生英聽能力並無影響，試問Ui 服從什麼分配？（5 分）  若該訓練對學生英聽能力並無影響，試求W 的期望值與變異數。（10 分）  利用統計量W 以及 中的結果，在顯著水準 0.05 下，檢定是否學生的英聽能力 有進步。（5 分）

若Y1, Y2,…, Yn 為獨立同分布之常態隨機變數，其期望值為μ，變異數為σ2；μ 和 σ2 皆未知。試求信賴水準為(1-α)100%時，期望值μ 之信賴區間長度的期望值。 （10 分）

蘭花餐廳王老闆分析該餐廳自98 年第一季至102 年第四季（共20 季），每季之營 業額（萬元）。首先，他算出四季之季節指數如下： 第一季 第二季 第三季 第四季 1.25 1.45 0.70 0.60 其次，王老闆將這些營業額分別除以其對應之季節指數，得到一組去除季節因子之 時間數列 20 2 1 ,..., , y y y ；接下來，利用簡單線性模型，他求出去除季節因子之時間數 列的長期趨勢估計式 t 0.8 21.5 ˆt   y 。  各季之營業額與四季平均營業額之比較如何？（5 分）  預測103 年第一季至第四季的營業額。（10 分）

下表分別為十位參加減重班的學員參加前與參加後的體重紀錄（Kg）： 參加減重班前 70 73 95 80 60 86 65 90 78 66 參加減重班後 65 71 89 82 60 83 66 86 75 65 若體重皆符合常態分配，試根據上述資料檢定該減重班是否具有顯著的減重功效？ (α=5%)（10 分）

下表是投擲一骰子 300 次所得各點數出現的次數。 點數 1 2 3 4 5 6 次數 35 60 52 65 55 33 在顯著水準α=5%下，請檢定該骰子是否為公平的骰子。（10 分）

在一項實驗中，欲研究使用一種藥性貼布是否有助於紓緩疼痛。實驗過程中隨機安 排患者使用外型相同的藥性貼布或無藥貼布，實驗結束時得數據如下： 紓緩疼痛 未紓緩 合計 使用藥性貼布 25 31 56 使用無藥貼布 10 40 50 試問實驗數據是否證實該藥性貼布可以顯著達到紓緩疼痛的效果？試以 p-value 做 結論。（15 分） 103年特種考試地方政府公務人員考試試題 全一張 （背面）

若已知獨立資料(xi,yi), i=1,…, 5，分別為(-2,0), (-1,0), (0,1), (1,1), (2,3)，且滿足線性 模型yi = 1＋βxi＋εi，其中εi 為獨立同分布之N(0,σ2)隨機變數，i= 1,…, 5。 （每小題10 分，共20 分）  試求斜率β 之最小平方估計（Least Squares Estimate）。  試檢定上述迴歸模型是否顯著，並寫出檢定統計量之分布。 表一：常態分布：內為大於z 之右尾機率P(Zz)=1-Φ(z)。 z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09 1.9 .0287 .0281 .0274 .0268 .0262 .0256 .0250 .0244 .0239 .0233 2.0 .0228 .0222 .0217 .0212 .0207 .0202 .0197 .0192 .0188 .0183 2.1 .0179 .0174 .0170 .0166 .0162 .0158 .0154 .0150 .0146 .0143 2.2 .0139 .0136 .0132 .0129 .0125 .0122 .0119 .0116 .0113 .0110 2.3 .0107 .0104 .0102 .0099 .0096 .0094 .0091 .0089 .0087 .0084 2.4 .0082 .0080 .0078 .0075 .0073 .0071 .0069 .0068 .0066 .0064 2.5 .0062 .0060 .0059 .0057 .0055 .0054 .0052 .0051 .0049 .0048 2.6 .0047 .0045 .0044 .0043 .0041 .0040 .0039 .0038 .0037 .0036 表二：T 分布：右尾機率為α 之臨界值 Tdf;α。 α .20 .10 .05 .025 .01 .005 df 3 0.978 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 4 0.941 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 5 0.920 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 6 0.906 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707 7 0.896 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 8 0.889 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355 9 0.883 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250 10 0.879 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169 11 0.876 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106 表三：卡方（Chi-square）分布：右尾機率為α 之臨界值 2 ; χ  df 。 α .20 .10 .05 .025 .01 .005 df 3 4.64 6.25 7.81 9.35 11.34 12.84 4 5.99 7.78 9.49 11.14 13.28 14.86 5 7.29 9.24 11.07 12.83 15.09 16.75 6 8.56 10.64 12.59 14.45 16.81 18.55 7 9.80 12.02 14.07 16.01 18.48 20.28 表四：F 分布：右尾機率為α = 0.05 之臨界值Fn1,n2; α。 n1 1 2 3 4 5 6 n2 1 161.45 199.50 215.71 224.58 230.16 233.99 2 18.51 19.00 19.16 19.25 19.30 19.33 3 10.13 9.55 9.28 9.12 9.01 8.94 4 7.71 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 5 6.61 5.79 5.41 5.19 5.05 4.95 6 5.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28