統計 94 年統計學考古題

94 年公務人員升官等考試、94 年關務人員升官等考試試題 科 別： 統計（公務） 考試時間： 2 小時 座號： （請接背面） 全一張 (正面) ㄧ、在統計學裡有幾個常用的統計量，如學生t（Student’s t），卡方（Chi-square）以及 F（Fisher’s F） 試說明學生t 統計量的性質。它與常態分配有何關聯？試說明之。（10 分） 試說明卡方統計量的性質。它與常態分配有何關聯？試說明之。（10 分） 試說明F 統計量的性質。它與常態分配有何關聯？試說明之。（10 分） 二、依據台中市政府民政局第002 號統計通報，台中市94 年3 月底選民性別比例如下： 男性為48%，女性為52%。 今有某媒體記者計畫抽取20 位選民，作為分析該市選民投票意向之樣本。 在20 位選民中，出現10 位女性的機會為何？（提示：可用公式表示或估計。） （5 分） 若令Y 代表男性選民數，則它的機率分配為何種分配？試說明之。（10 分） 估計Y 大於9 的機率。（提示：精確機率不易計算，可用公式表示或可估計。） （10 分） 三、依據行政院94 年8 月18 日發布之國民所得統計及國內經濟展望報告，取得歷年台 灣全體家庭汽車普及率（%）及平均每戶住宅坪數（坪）數據如下： 年份 汽車普及率（Y） 平均每戶住宅坪數（X） 79 29.1 34.0 85 51.2 38.1 87 54.5 39.8 88 54.3 39.6 89 55.6 40.4 90 55.6 41.0 91 58.2 41.7 92 57.4 41.9 93 58.0 42.4 試以Y 作為應變量，X 為預測變量，估計Y 對X 之直線廻歸（Simple Linear Regression）。（10 分） （提示：可利用以下統計量來作計算， ,9. 473 ,9. 358 = = ∑ ∑ i i y x ∑ ∑ ∑ = = = 71 . 25615 , 54 . 19076 , 23 . 14365 2 2 i i i i y y x x ） 試解釋你的廻歸直線在預測或說明上的功能。（5 分） 檢定虛無假設：X 對Y 沒有任何貢獻或影響力，即斜率 = 0。設顯著水準為0.05， 其臨界值為2.365。（10 分） 94 年公務人員升官等考試、94 年關務人員升官等考試試題 科 別： 統計（公務） 全一張 (背面) 四、在統計學上有兩種重要統計方法，一為廻歸分析，另ㄧ為變異數分析。 廻歸分析與變異數分析有何異同？試分別說明之。（10 分） 變異數分析可以納入廻歸分析（稱為一般線性模式），試以“有三個不同處方＂ 的ㄧ維（one-way layout）變異數分析說明之。（10 分）

某電子零件之壽命為指數隨機變數（單位為小時），其機率密度函數為 ⎩ ⎨ ⎧ > = − 其他值 , 0 0 , ) ( x e x f x x 若某一系統係由該種零件3 個串聯而成，假設零件間彼此獨立作業，試求此系統 壽命之機率分配（需註明分配名稱及其參數）。（10 分） 計算此電路系統壽命超過1 小時之機率。（5 分） 於中，若將串聯改為並聯，則新系統壽命之機率分配又如何。（10 分）

何謂隨機樣本（Random Sample）？ 試從一個無限母體分配中抽取n 個個體組成一隨機樣本，可並用統計符號說明之。 （5 分） 子題中，可能有多少個隨機樣本？試說明之。（10 分） 爲何要取隨機樣本？若不取隨機樣本，還有其他方法取樣嗎？試舉一例說明其他 方法。（10 分）

手機殼的厚度有一定的規範，稱之為規格，為(a,b)。假設這些厚度數據為ㄧ常態分 佈，若某一手機殼的厚度在規格內就說此手機殼為良品，否則為不良品。ㄧ個常態 分佈的機殼製程，若b－a 為標準差σ 的2K 倍，則稱為Kσ 製程。問： （每小題5 分，共20 分） K 愈大，製程愈 。 不良率多，可能原因為 。 σ愈小，K 愈 。 同樣分佈下，規格變大，則不良率變 。

分別自某一大學管理學院及工學院隨機抽50 位教授，調查其教書負荷量的感覺，以 α＝0.05，檢定此述”此兩個院的教授們對教書負荷量有相同的反應”，資料如下： （20 分） 學院 反應 管理 工 總和 合 理 30 24 54 不合理 20 26 46 樣本數 50 50 100 ＜附錄＞ 24 .5 )1( , 841 .3 )1( 2 975 .0 2 95 .0 = = x x 001 .0 ) 2 ( , 004 .0 ) 2 ( 2 025 .0 2 05 .0 = = x x

我們經常在媒體上得知如下報導：某都市有甲乙兩位市長候選人競爭該市市長公職。 選前一個月，有某民調機構發布以下預測結果─在百分之九十的信心水準下並容許 百分之三的估計誤差（即選前預測得票率與選後真實得票率之差距），隨機抽取 752 位合格的有效選民並取得他們的投票意向。據此計算出甲候選人得票率為45%， 乙候選人得票率為38%，未確定者為17%。 試問這項抽樣方法及結果依據何種統計原理或定理？試說明之。（5 分） 試對甲候選人真實得票率（以P 表示）作一95%的信賴區間估計，請加以解釋。 （可利用臨界值 1.96）（15 分） 子題與假設檢定的關聯如何？試論之。（5 分）

下列資料為某股票數日每日開盤10 分鐘交易量（X）和收盤交易量（Y），若以開 盤10 分鐘交易量來預測收盤交易量符合一迴歸模型，y=β0+β1x+error. 收盤交易量 353.8 454.4 523.4 461.4 422.6 554.9 897.4 987.1 1237.6 開盤10 分鐘交易量 43.0 44.1 45.1 42.1 43.2 45.7 56.0 126.4 150.7 收盤交易量 949.5 1113.2 1157.0 1292.6 917.0 1074.5 729.1 800.6 947.5 開盤10 分鐘交易量 90.9 99.1 81.2 135.6 90.5 104.0 67.0 69.5 83.5 若Y 平均=826，X 平均=78.7， 20099 ) ( 1 2 = ∑ − = n i i x x ， 1542114 ) ( 1 2 ∑ = − = n i i y y ， 和 156250 ) )( ( = ∑ − − n y y x x 1 = i i i 。（25 分） 問β1的估計值=？ β0的估計值=？ R2=？ F 的檢定值=？ R2和F檢定值的關係為何？

投一公正四面體，每一面各自標上｛1,2,3,4｝，投擲10 次，記錄每次朝下的結果，令 Xi 為出現點 ”i ” 之次數，i=1,2,3,4。 試寫出（X1,X2,X3,X4）之聯合機率分配（需註明分配名稱及其參數）。（10 分） 寫出X1 之邊際分配名稱及其參數（10 分），並計算X1 之期望值E（X1）與變異數 Var（X1）。（10 分） α x 2 α 94 年交通事業鐵路人員、公路人員升資考試試題 代號：70830 級 別： 員級晉高員級 科 別： 公路：統計 全一張 （背面）

依據行政院94 年8 月18 日發布之『國民所得統計及國內經濟展望報告』，取得按 戶數五等級別分位的所得資料如下： 可支配所得按戶數分組（單位：千元） 1（最低所 得組） 2 3

為了估計某農民蓮霧甜的比例，我們借用統計方法來探討，卻面臨一個問題，要抽取 多少個樣本。假設抽取的蓮霧都可以判斷是否香甜，問：（每小題10 分，共20 分） 決定樣本數前需知那些訊息？ 如何利用這些訊息決定樣本數？ 94 年公務人員高等考試三級考試第二試試題 代號： 科 別： 統計、經濟行政、農業行政、運輸工程、交通工程 全一張 （背面） 32250、32650 32850、35350 37150

給以下( ) { } 7 1 i i , y x 成對資料： xi 1 2 3 4

5（最高所 得組） 平均每戶可支配所得 297 555 776 1036 1972 分配比例（%） 6.7 12.5 17.4 23.2 40.2 試問最高所得組與最低所得組的差距為何？試解釋之。（5 分） 試問最高所得組為最低所得組的幾倍？試解釋之。（5 分） 理論上，在一個公平的社會財富分配中，百分之二十的人口應擁有百分之二十的 社會財富。實際上，貧富是不均的，例如上述最低所得組有百分之二十的人口， 但僅擁有百分之六點七的所得，而最高所得組的百分之二十的人口卻擁有百分之 四十點二的所得。試請估計可支配所得分配不均的數量，以T 表示。（提示：設 以0 至1 的正方圖形說明，若所得完全公平，實際與理論落在45 度斜線上， 則T = 0；完全不平均，天下財富為一人擁有，則T = 0.5。）（15 分） 94 年公務人員升官等考試、94 年關務人員升官等考試試題 代號： 科 別： 統計(公務)、工業行政、科技行政 全一張 (背面) 31950 32750 33052 四、某市調公司想了解A，B，C 三種產品銷售量是否相同，各隨機抽取10 家銷售點作 實驗，一個星期後，得到下列銷售資料： 產品 平均數 標準差 A 45.2 5.6135 B 47.4 7.0111 C 43.2 6.0882 列出ANOVA 表，在α =0.05 之下（臨界值為 3.36）， 此三種產品銷售量是否有統計上顯著差異？（臨界值為 3.36）（15 分） 在分析時，ANOVA 分析需要何種基本假設？（10 分）

三家工程公司所做的工程抽樣評分如下表：（每小題10 分，共20 分） A 公司 80.5 88.5 85.0 87.5 82.5 90.5 83.5 86.0 B 公司 86.0 85.5 85.0 87.0 86.5 84.5 85.0 84.0 C 公司 79.5 87.5 84.0 86.5 81.5 89.5 82.5 85.0 畫方塊圖（Box plot）。 利用的結果對此三家做綜合評述。

寄望了解從甲地經乙地再經丙地到丁地的最短時間。從甲地到乙地，從乙地到丙地， 從丙地到丁地，都有兩條路可以選擇，假設走ㄧ次從甲地經乙地再經丙地到丁地時間 誤差是ㄧ樣的，想要估計從甲地到乙地兩條路的平均時間差距，從乙地到丙地兩條路 的平均時間差距，和從丙地到丁地兩條路的平均時間差距，愈準愈好。如果可走四次 ，問如何走這四次才可以估計我們的目標最準確？（10 分）為什麼？（5 分）

yi 3 5

10 10 12 15 設此資料來自一簡單線性迴歸模型： 7, ,1 i ), ,0 ( N x Y 2 . . i i i 1 0 i L = + + = σ ε ε β β d i i ～ ， 。 以最小平方法（LSE）計算此資料之樣本迴歸線 x b b ˆ 1 0 + = Y ，並繪此資料之散佈圖 及樣本迴歸線於同一圖形上。（10 分） 試說明參數β1 之含義並以α＝0.05 作 H0 : β1 = 0 v.s. H1 : β1≠0。（8 分） ＜附錄＞ ｔ0.025(6)＝-1.943 ,ｔ0.025(5)＝-2.571 ,ｔ0.05(5)＝-2.015 ,ｔ0.05(6)＝-1.943 以上值均為左尾α 百分位數。 計算此模型之判定係數R 2 及x 與y 之間樣本相關係數 ∧ρ，並分別說明其含義。 （7 分） yi 為Yi 的出現值（realizations）