統計 94 年迴歸分析考古題

假設有如下之兩組資料 資料A： xi 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 42.5 68.5 89.0 103.3 112.3 yij 51.6 80.7 99.6 110.8 121.8 資料B： xi 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 13.44 10.11 7.85 6.90 5.75 yij 11.91 9.01 8.65 6.77 5.67 此兩組資料的散佈圖如下： 散佈圖：資料A 20.0 50.0 80.0 110.0 140.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 X Y 散佈圖：資料B 5.0 7.0 9.0 11.0 13.0 15.0 -1.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 X Y 我們欲利用簡單線性迴歸模式（ . .. , 1 0 d ii x Y i i i i ε ε β β + + = ）來分析上述資料。 對資料A 和B，模式之假設是否滿足？說明理由。（10 分） 試建議應如何處理此二筆資料以便於利用最小平方法來估計迴歸係數。（10 分）

民國79 年至89 年間台灣某行政區的詐欺背信重利罪犯罪率資料如下： 年(x) 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 犯罪率(y) 10.8 11.2 12.1 15.4 15.0 19.6 23.4 26.8 26.7 27.2 28.0 我們欲以簡單線性迴歸模式 i i i x x y ε β β + − + = ) ( 1 0 來分析此犯罪率資料，在此 ∑ = 11 / ix x 。假設 iε 為i.i.d. N(0, 2 σ )。 在上述迴歸模式下，請估計此11 年平均犯罪率和犯罪年增加率。（10 分） 假設在79~89 之11 年間，台灣地區詐欺背信重利罪之平均犯罪率和犯罪年增加 率分別為16.4 和1.3。設α =0.05，上述行政區之平均犯罪率和犯罪年增加率是否 顯著地有別於全國平均？（10 分） F1,9(0.9)=3.36 F1,9(0.95)=5.12 F1,9(0.975)=7.21 F2,9(0.9)=3.01 F2,9(0.95)=4.26 F2,9(0.975)=5.71 94 年公務人員高等考試三級考試第二試試題 科 別： 統計 全一張 （背面）

在迴歸小考中，一助教給如下的統計量 三、在迴歸小考中，一助教給如下的統計量 n=5, n=5, x =40, y =36.2, =7,620, =8,450， ∑ = 5 1 i i iY x ∑ = 5 1 2 i ix 並要求學生求 0 β 和 1 β 的最小平方估計值， 和 。他亦要求估計x=40 的線性迴歸 函數值（假設簡單線性迴歸，且具i.i.d. 誤差）。當學生交上答案卷時，此助教發 現很多學生得到不同的 和 值，但在x=40 的迴歸估計值上答案卻完全相同。該 助教排除了學生在考試中作弊的可能性，請向該助教說明為何會如此？（10 分） 0ˆβ 1ˆβ 0ˆβ 1ˆβ

考慮三組資料，其散佈圖分別如下： ○ ● ● ○ ● ● ○○ ○ ○ ○ ● ● ○ ○ ● ●● ○ ○○ ○ ○ ●● ○ ○ ○ ● ● ○○ ○ ○ ● ● ○ ○ ● ●● ○ ○ ○ ○ ● ● ○ ○○ ● ○○ ○ ○ ● ○○ ○○ x0已知 (c) (a) a) (b) (b) ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○○ ○○ ○ ● 男性 ○ 女性 ● M1 ○ M2 Y Y Y X X X 對上述三種資料狀況，依序回答下列問題： 寫出適當的複迴歸模式。（12 分） 若欲在之複迴歸模式架構下檢定簡單線性迴歸 i i i x y ε β β + + = 1 0 的妥適性，應 如何進行？請列出虛無假設、對立假設、檢定統計量及決策法則。假設誤差為 i.i.d. 來自N(0, 2 σ )。（12 分） 對上述三組資料，若利用簡單線性迴歸來配適，其殘差圖（residual plots）將為何？ （12 分）

設有資料 , i=1,2,…,n，今欲以簡單線性迴歸 ) , ( i i x y i i i x y ε β β + + = 1 0 來配適。證明 2 ˆ1 , ) ( sign R X Y β γ = ，在此 X Y, γ 為Y 和X 之相關係數， 2 R 為迴歸判定係數 （coefficient of determination ）， 為 1ˆβ 1 β 之最小平方估計值。若 >0 ， ；若 <0， 。（7 分） 1ˆβ 1 ) ˆ ( sign = β ˆβ 1 ) ˆ ( sign − = β 1 1 1 若中之 改為 ，而以複迴歸 ix ) ,..., , ( 1 , 2 1 − = p i i i i x x x x i p i p i i x x y ε β β β + + + + = − − 1 , 1 1 1 0 ... 來配適，證明 2 , ˆ R Y Y = γ ，在此Yˆ 為複迴歸函數估計值。（7 分）