統計 96 年迴歸分析考古題

若資料niYXii,...,2,1),,(=滿足下列簡單線形迴歸模式（simple linear regression model）；()niNdiiXYiiii,...,2,1,,0...~,210=++=σεεββ（每小題10 分，共60 分）請寫出iY 之期望值)( iYE，與變異數)( iYV。請寫出迴歸母數0β 與1β 之最小平方不偏估計式0b 與1b 。請寫出簡單線形迴歸模式情況下之高斯－馬可夫（Gauss-Markov）定理。若殘差iiiYYeˆ−=，且iiXbbY10ˆ+=，請證明∑==niie10。請證明∑==niiieX10。請證明∑==niiieY10ˆ。

下列是某校120 個學生三次測驗成績X1, X2, Y 的資料： 8.6 1 = x , 7 2 = x , 74 = y ; s1 = 1, s2 = 0.8, sY = 9; r12 = 0.6, rY1 = 0.7, rY2 = 0.5（s =標準差；r =相關係數）。若考慮廻歸模式為 ε β β β + + + =

在簡單線形迴歸模式中，()niNdiiXYiiii,...,2,1,,0...~,210=++=σεεββ若0b 為0β 之最小平方不偏估計式，請寫出0b 之變異數)( 0bV。（10 分）

2 1 1 0 X X Y ，回答以下問題： 推導最佳廻歸線（ 2 2 1 1 0 ˆ x b x b b y + + = ）。（10 分） 求偏相關係數rY1.2 及rY2.1。（5 分） 解釋中rY1.2 及rY2.1 的意義。（5 分） 二、甲生將一組包含Y 及四個自變數, X1, X2, X3, X4,的資料做以下所有可能的模式的分析，其目的在 於選取可能的最佳模式（p = 模式參數個數；MSE = Mean square error; df=自由度）。 從如何判定模式中該包括那些自變數的方向上，回答下列問題： 請說明 2 p R 判定準則的內容並依此決定最適模式。（5 分） 請說明MSEp 判定準則的內容並依此決定最適模式。（5 分） 請說明Cp 判定準則的內容並依此決定最適模式。（5 分） 請說明PRESSp 判定準則的內容並依此決定最適模式。（5 分）

在簡單線形迴歸模式中，()niNdiiXYiiii,...,2,1,,0...~,210=++=σεεββ若0b 為0β 之最小平方不偏估計式，且kkXbbY10ˆ+=，請寫出kYˆ 之機率分配。（10 分）

在簡單線性廻歸模式下，請回答下列問題： 請解釋自變數值大小的分散程度如何影響b1（ 1 β 的估計式）的變異數大小。（5 分） 請解釋為何殘差不是獨立的隨機變數。（5 分） X Variables in Model p df SSEp 2 p R MSEp CP PRESSP None 1 53

在簡單線形迴歸模式中，若已知樣本資料之決定係數（coefficient of determination）2r 與自變數X 與應變數Y 之相關係數r 相等且均不為0，即有02 ≠−=rr，則無論樣本大小為何、顯著水準為何，是否均可經由統計檢定；1:1:,1,0−>−=YXYXHvsHρρ，獲得不棄卻虛無假設之結論，請討論之。（10 分）

0 0.075 1721 4.12 X1 2 52 3.5 0.12 0.067 1511 3.81 X2 2 52 2.58 0.35 0.05 1100 2.86 X3 2 52 2.22 0.44 0.043 939 2.43 X4 2 52 1.88 0.53 0.036 788 2.03 X1 X2 3 51 2.23 0.44 0.04 949 2.64 X1 X3 3 51 1.41 0.65 0.03 580 1.61 X1 X4 3 51 1.88 0.53 0.036 789 2.12 X2 X3 3 51 0.74 0.81 0.015 284 0.84 X2 X4 3 51 1.39 0.65 0.027 574 1.58 X3 X4 3 51 1.25 0.69 0.024 508 1.43 X1 X2 X3 4 50 0.11 0.97 0.002 3.1 0.145 X1 X2 X4 4 50 1.39 0.65 0.028 575 1.65 X1 X3 X4 4 50 1.12 0.72 0.022 452 1.33 X2 X3 X4 4 50 0.47 0.88 0.009 162 0.55 X1 X2 X3 X4

複線形迴歸模式（multiple linear regression model）；()niNdiiXXXYiiippiii,...,2,1,,0...~,... 222110 =+++++=σεεββββ可以矩陣型式簡捷表示為()nnINXY2,0~,σεεβ +=請寫出β 之最小平方估計向量βˆ 及其機率分配。（10 分）

49 0.11 0.97 0.0022 5 0.15 96 年公務人員高等考試三級考試試題 類 科： 統計 全一張 （背面） 四、經濟學家想了解一個新的保險方案被接受的速度（Y）與保險公司大小（X1）及公司種類（X2）的 相關性，在考慮 i i i i X X Y ε β β β + + + = 2 2 1 1 0 的模式下，Yi =接受新的保險方案所需時間（月）， Xi1=保險公司大小，Xi2=1（證券公司），Xi2=0（基金公司），收集樣本資料共20 家公司。統計 分析結果如下： S.V. SS df MS Regression 1504.41 2 752.2 Error 176.39 17 10.38 Total 1680.8 19 Regression Coefficient Estimated Regression coefficient Estimated Standard deviation 0 β 33.87407 1.81386 1 β -0.10174 0.00889 2 β 8.05547 1.45911 寫下估計的迴歸線並解釋廻歸係數估計值b1 與b2 的意義。（5 分） 求 2 β 的95%信賴區間，並解釋該區間之含義。（5 分） 檢定 0 : 1 0 = β H vs. 0 : 1 ≠ β a H 並說明檢定結果。（ 05 .0 = α ）（5 分） 假設經濟學家採用包含 1 X 及 2 X 交互項（interaction term ）的模式， i i i i i i X X X X Y ε β β β β + + + + = 2 1 3 2 2 1 1 0 ，說明模式中係數 1 β , 2 β 與 3 β 的意義。（5 分） 利用Bonferroni procedure 求 0 β 與 1 β 的90%聯合信賴區間並解釋該區間的意義。 （t0.975(17) = 2.11, t0.95(17) = 1.74）（5 分） 五、營養學家欲研究體脂量（Y）與三個可能預測變數，肌皮脂厚度（X1），大腿圍（X2）及上臂圍 （X3）之間的關係。由年齡介於25 至34 歲健康女性族群中抽出20 位，並收集體脂量，肌皮脂 厚度，大腿圍及上臂圍等資料。營養學家藉由此份資料進行以下四種廻歸模式分析： （M1）Regression of Y on X1: 1 8572 .0 496 .1 ˆ X Y + − = S.V. SS df MS Regression 352.27 1 352.27 Error 143.12 18 7.95 （M2）Regression of Y on X2: 2 8565 .0 634 . 23 ˆ X Y + − = S.V. SS df MS Regression 381.97 1 381.97 Error 113.42 18 6.3 （M3）Regression of Y on X1 and X2: 2 1 6594 .0 2224 .0 174 . 19 ˆ X X Y + + − = S.V. SS df MS Regression 385.44 2 192.72 Error 109.95 17 6.47 （M4）Regression of Y on X1, X2 and X3: 3 2 1 186 .2 857 .2 334 .4 08 . 117 ˆ X X X Y − − + = S.V. SS df MS Regression 396.98 3 132.33 Error 98.41 16 6.15 Note: S.V.=Source of Variation; SS=Sum of squares; df=degree of freedoms; MS=Mean square 求SSR(X2|X1), SSR(X3|X1, X2), SSR(X2, X3|X1), SSR(X1, X3|X2)及SSE(X1, X3|X2)。（5 分） 解釋中SSR(X3|X1, X2)值及SSR(X2, X3|X1)值之意義。（5 分） 假設廻歸模式中已包含X1 及X2，在 01 .0 = α 下，檢定 0 3 = β 是否成立並判定變數X3 是否該存 在模式中？（Ｆ(0.99; 1, 16) = 8.53）（5 分） 說明造成模式（M1）與模式（M3）中，X1 的廻歸係數不相同之可能原因。（5 分） 計算並解釋下列部分判定係數（coefficients of partial determination）： 2 1|2 Y R 及 2 12 |3 Y R 。（5 分）