統計 98 年迴歸分析考古題

若(yi, xi), i = 1, 2,…, n，彼此獨立並滿足線性迴歸模型yi = β0 + β1xi + εi，其中截距項 β0是已知的，εi為i.i.d. N (0, σ2)。 試求β1之最小平方估計量（least squares estimator） 。（10 分） 1ˆβ 試求 和 。（10 分） ) ˆ ( 1 β E ) ˆ ( 1 β Var 試求當另一獨立解釋變數之觀測值x = x0時，其反應變數y0之(1-α)100%的預測區 間。（10 分）

假設樣本資料(yi, xi), i = 1, 2,…, n，配適簡單線性迴歸模型yi = β0 + β1xi + εi，其中εi 為i.i.d. N (0, σ2)。若樣本數n = 20, 160 ) ( 2 = − ∑ n i x x ∑ = = n i n x x 5 /

= y = i 1 , , 1 = i , 2. 83 ) ( 2 = − ∑ n i y y 80 ) () ( = − − ∑ n i i y y x x 1 = i 。 1 = i 且 試寫出模型之ANOVA（analysis of variance）表。（10 分） 若解釋變數xi = 2, i = 1, 2, 3, 4; xi = 4, i = 5,…, 8; xi = 6, i = 9,…, 12; xi = 8, i = 13,…, 16 及xi = 10, i = 17,…, 20，且其純誤差平方和（pure error sum of squares）為23.2。 試問此時中的模型是否仍恰當？請寫出檢定統計量之分布和自由度。（臨界值 （critical value）= 3.29。）（15 分） 三、若(yi, xi1, xi2, xi3), i = 1, 2,…, 20，滿足迴歸模型 yi = β0 + β1xi1 + β2xi2 + β3xi3 + εi, 其中εi為i.i.d. N (0, σ2)。且其SSReg（sum of squares for regression）= 19.0064, SSRes = 11.3792, R (β1|β0) = 10.2070 和R (β2|β0, β1) =6.2856。試求： R2值。（5 分） 檢定上述迴歸模型是否顯著？（請寫出檢定統計量之分布和自由度。臨界值＝3.24。） （10 分） 若檢定β3 = 0 不顯著，試求此時σ2之估計量。（5 分） 98 年公務人員高等考試三級考試試題 類 科： 統計 全一張 （背面）

下表為一可能有4 個解釋變數x1, x2, x3和x4之資料，分別配適具左方之解釋變數之迴 歸模型時其餘變數之partial F值。（假設模型誤差為獨立同分佈的N (0, σ2)。） 不在模型中之解釋變數的partial F 值 模型中之 解釋變數 x1 x2 x3 x4 － 12.60 21.96 4.40 22.80 x1 － 208.58 0.31 159.30 x2 146.52 － 11.82 0.42 x3 5.81 36.68 － 100.36 x4 108.22 0.17 40.29 － x1x2 － － 1.83 1.86 x1x3 － 220.55 － 208.24 x1x4 － 5.03 4.24 － x2x3 68.72 － － 41.65 x2x4 154.01 － 96.94 － x3x4 22.11 12.43 － － x1x2x3 － － － 0.04 x1x2x4 － － 0.02 － x1x3x4 － 0.5 － － x2x3x4 4.34 － － － 考慮以FIN = FOUT = 4 試分別寫出下列方法所選出的解釋變數： 逐步迴歸法（Stepwise Regression）。（5 分） 向前選擇法（Forward Selection）。（5 分） 後退消去法（Backward Elimination）。（5 分） 在下述各模型與所提供的訊息中選擇最佳的模型。（10 分） 解釋變數 2 R ) adjusted ( 2 2 R Radj p C s x2 .666 .636 142.5 9.07 x4 .675 .645 138.7 8.96 x1x2 .979 .974 2.7 2.41 x1x4 .972 .967 5.5 2.73 x1x2x4 .982 .976 3.0 2.31 x1x3x4 .981 .975 3.5 2.37