統計 102 年迴歸分析考古題

對以下之簡單線性迴歸模式()niNXYdiiiiii,,1,,0~,12...1K=++=σεεβ,iX 為已知自變數（independent variable）且不全為0。令1ˆβ 是參數1β 之最小平方估計量（least squares estimator）及1βαe=。（每小題10 分，共20 分）請找出參數α 之最大概式估計量（maximum likelihood estimator）。請求出1ˆβ 之期望值( )1ˆβE及變異數( )1ˆβVar（請詳列推導過程）。

抽樣某公司業務員之週業績（sales）與其每週工作時數（work）和年資（experience, 以年計），做兩個迴歸分析如下： 分析一： Dependent Variable: sales Analysis of Variance Sum of Mean Source DF Squares Square F Value Pr > F Model 1 95.23381 95.23381 0.91 0.3473 Error 31 3241.31165 104.55844 Corrected Total 32 3336.54545 Parameter Estimates Parameter Standard Variable DF Estimate Error t Value Pr >｜t｜ Intercept 1 144.77530 8.52019 16.99 <.0001 work 1 0.17402 0.18234 0.95 0.3473 分析二： Dependent Variable: sales Analysis of Variance Sum of Mean Source DF Squares Square F Value Pr > F Model 2 2186.59454 1093.29727 28.52 <.0001 Error 30 1149.95092 38.33170 Corrected Total 32 3336.54545 Parameter Estimates Parameter Standard Variable DF Estimate Error t Value Pr >｜t｜ Intercept 1 104.05180 7.55046 13.78 <.0001 work 1 0.43469 0.11590 3.75 0.0008 experience 1 1.57153 0.21276 7.39 <.0001 就分析一，當每週工作時數為45 小時，估計週業績之平均數及變異數。（10 分） 比較分析一與分析二，每週工作時數與業績之關係有何差異？你會採用那個模 式？為什麼？（α=0.05）（15 分） 就分析二，在固定年資水準下，如工作時數增加一小時，檢定平均業績之增加量 是否低於0.5？列出H0 及H1，並檢定之。（α=0.025）（10 分） 就分析二，如年資的單位由年改為月，那些數值會改變？並求改變後之值。（10 分） 102年公務人員高等考試三級考試試題 類 科： 統計 全一張 （背面）

(),10,,1,,K=iyxii為對應以下簡單線性迴歸模式()10,,1,,0~,2...10K=++=iNXYdiiiiiiσεεββ,之觀察值。對以下ix 值時，iy 有重覆觀察值：ix 值重覆觀察iy 值 9081 , 836668 , 60, 625160 , 643551 , 53令0ˆβ 、1ˆβ 為0β 及1β 之最小平方估計量之值。給定以下結果：()iiiiiiixyyyy 101012 1012 ˆˆˆ,44.118ˆ, 44249 ββ +==−=∑∑==。試完成以下對應虛無假設（null hypothesis）0:100== ββH之變異數分析表（ANOVA table）：(1)～(8)來源自由度（degree of freedom）平方和（sum of squares）均方和（mean square）F迴歸（Regression）2(3)(6)(8)殘差（Error）(1)(4)(7)總和(2)(5)並寫出F 統計量之虛無分布（null distribution），即F 統計量在虛無假設成立時之機率分布。（15 分）請算出缺適（lack of fit or goodness of fit）檢定統計量之值。並明確寫出檢定統計量之虛無分布。（10 分）102年特種考試地方政府公務人員考試試題代號： 31470

自四所高中隨機抽樣學生參加英文檢定考試，令Y=成績，X1=在校英文成績，X2= 每週讀英文之時數，(X3,X4,X5)=(1,0,0)為甲校學生，(X3,X4,X5)=(0,1,0)為乙校學 生，(X3,X4,X5)=(0,0,1)為丙校學生，(X3,X4,X5)=(0,0,0)為丁校學生，得以下迴歸分 析資訊。 模式：Y = β0 +β1X1 +β2X2 +β3X3 +β4X4 +β5X5 +ε Analysis of Variance Sum of Mean Source DF Squares Square F Value Pr > F Model 5 6368.47 1273.69 72.99 <.0001 X1 2768.78 X2|X1 1.88 X3|X1,X2 18.35 X4|X1,X2,X3 3126.22 X5|X1,X2,X3,X4 453.24 Error 74 1291.33 17.45 Corrected Total 79 7659.80 Parameter Estimates Parameter Standard Variable DF Estimate Error t Value Pr >｜t｜ Intercept 1 42.680 6.530 6.54 <.0001 X1 1 0.504 0.071 7.10 <.0001 X2 1 0.059 0.310 0.19 0.8509 X3 1 -0.610 1.323 -0.46 0.6459 X4 1 -12.291 1.338 -9.19 <.0001 X5 1 6.827 1.340 5.10 <.0001 就上述資訊： 寫出對Y 影響最大及次大之解釋變數，並請述明理由。（5 分） 某一甲校學生，在校英文成績為75，每週讀英文之時間為5 小時，請預測其英 文檢定成績。（5 分） 檢定H0：β3=β4 =β5 = 0 vs. H1：非H0。（α=0.05）（12 分） 經由模式選取過程，得估計之模型為Yˆ = 43.36＋0.49X1－11.97X4＋7.16X5 及 MSR=2121.42。 求此模型之修正後判定係數（adjusted coefficient of determination）。（10 分） 請解釋X5 的係數7.16 之涵義。（8 分）

(),4,1,,,21K=iyxxiii為對應以下多重線性迴歸模式()4,,1,,0~,2... 22110 K=+++=iNXXYdiiiiiiiσεεβββ,之觀察值。令0ˆβ 、1ˆβ 及2ˆβ 為0β 、1β 及2β 之最小平方估計量或其值。X 為自變數矩陣，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 424132 312221 121111 11xxxxxxxxX。給定以下之結果：()。 221104 141221 0ˆˆˆˆ,10,5.0ˆ,5.105.2ˆˆˆˆ, 200040 004iiiiiiiitxxyyyyXXβββββββ++===−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=∑∑==算出βˆ 之共變異數矩陣（covariance matrix），即()ββ ˆ,ˆCov。（5 分）算出2R 。（5 分）給定05.0=α，利用t 統計量檢定01:20≥+βHversus01:20<+βH。（10 分）（706.12,314.6,303.4,92. 2025 .0,105.0, 1025 .0,205.0,2====tttt）給定05.0=α，利用F 統計量檢定0: 2100 ===βββHversus0or0or0: 2101 ≠≠≠βββH。（10 分）（19,200,2.19, 21605 .0,2,205.0,1,205.0,2,305.0,1,3====FFFF）算出1β 之95％之信賴區間。（5 分）

迴歸分析中： 如應變數Y 不服從常態分配，該如何處置？（5 分） 如槓桿值（leverage, h）過大時，表示為何？（5 分） 修正後判定係數（adjusted coefficient of determination）有何用處？（5 分）

考慮以下多重線性迴歸模式()niNXXXYdiiiiippiii,,1,,0~,2... 2211 KL=++++=σεεβββ。令[][]pjXXXXYYYYtnjjjjtn,,1,, 2121 KKL===。假設,,1,niXijK=不全為0 且kjXXktj≠= ,0。試以Y 及jX 來表示pββ,,1 K之最小平方估計量以及殘差平方和（residual sum ofsquares）。（12 分）考慮另一線性迴歸模式niXXXYiippiii,,1, 2211 KL=++++=ζααα,()22,0~σζaNi為彼此獨立之隨機誤差且a 為正常數。試求以Y 及jX 來表示pαα,,1 K之加權最小平方估計量（weighted least squares estimator），且找出此加權最小平方估計量與在之pββ,,1 K最小平方估計量之關係式。（8 分）