統計 94 年抽樣方法考古題

請解釋下列各名詞並舉例說明： 機率抽樣（Probabilistic sampling）與非機率抽樣（Non-probabilistic sampling）。 （8 分） 抽樣誤差（Sampling error）與非抽樣誤差（Non-sampling error）。（6 分） 抽樣母體（Sampled population）與目標母體（Target population）。（6 分）

設母體有N=5 個單位，其值分別為y1=8，y2=10，y3=11，y4=15，y5=16。今欲隨機 抽取大小為n=3 的樣本S，以估計母體均值 Y 。設有下列兩種抽樣方法： 方法I：只有五種可能樣本 可能樣本編號 組成樣本S的單位編號樣本S發生的機率 1 {1,3,5} 1/5

某廣告公司欲估計台北市住戶對某一電視節目的收視率，決定將全市依北、中、南 三行政區分為三層，應用分層隨機抽樣法調查之。若已知北、中、南三區住戶數分 別為N1 =155 戶，N2 =62 戶，N3 =93 戶，及各層隨機樣本分別為n1 =20 戶，n2 =8 戶 ，n3 =12 戶，調查結果所得資料列於下表： 層別 Ni (戶) ni (戶) 收視某電視節目戶數 北 155 20 16 中 62 8

下面請分別用比率估計及迴歸估計的方法來估計並加以比較。表中是由全省 N=64 個水稻區中用簡單隨機抽樣法抽出n=13 區作為樣本，分別利用坪割及目 測後所得的資料。現以坪割值為研究變數yi，另以目測值為輔助變數xi ，並假 定全省水稻區目測總合為 = = ∑ = N i ix x 1 11629。（30 分） 表 坪割及目測後所得的水稻樣本資料 1 2

{1,2,5} 1/5

南 93 12 6 試估計北市住戶對某一電視節目之收視率。（10 分） 在95%信賴係數(z 2)情形下，若欲所估計之收視率之誤差不超過10%，試以比例 配置法（proportional allocation）求抽樣樣本大小及各層樣本的大小。（15 分） ≅ 二、一個有經驗的果農，將他的果園中N=200 株桃樹上的桃子一一的目測其重量為yi， 計總目測重量＝11600 公斤，俟該果園桃子全部摘下後，再從其中抽取10 株桃子並 實際測量，其重量如下表所示： 桃樹數 重量（公斤） 第1 株 2

{1,4,5} 1/5

{2,3,5} 1/5

{2,4,5} 1/5 方法II：只有三種可能樣本 可能樣本編號 組成樣本S的單位編號樣本S發生的機率 1 {1,4,5} 1/4 2 {2,3,4} 1/2 3 {1,2,4} 1/4 問 母體均值Y 為何？（5 分） 若 y 為樣本均值，對上述抽樣方法，分別計算E ( y )，Var ( y )，Bias ( y )，MSE ( y )。 其中E (·)為期望值，Var (·)為變異數，Bias (·)為偏量，MSE (·)為均方差。（16 分） 上述二種抽樣方法，您認為哪一種較優？為什麼？（5 分） 二、由600 個兒童的母體中簡單隨機抽取若干名，以估計兒童接種某疫苗的比率 P。 若要使估計比率 P 的誤差不大於5%，在95%的信賴度下，應簡單隨機抽取的樣 本數為何？假設已知去年調查的疫苗接種比率為90%。（8 分） 若簡單隨機抽取120 名兒童，發現其中12 人沒有接種疫苗，則接種疫苗比率 P 的95%信賴區間為何？（8 分） 94 年公務人員升官等考試、94 年關務人員升官等考試試題 科 別： 統計（公務） 全一張 (背面) 三、簡單隨機抽樣時，常利用亂數表抽取樣本，設母體有N=400 個單位，取大小為n=5 的樣本。若亂數表讀出以下數字60874 72563 27470 93725 16472 21779 22432 ⋯ 試說明以下抽樣方法是否屬於簡單隨機抽樣法。（每小題3 分，共18 分） 將數字分成每三位為一組，數字超過400 的跳過去不計，因此得五個樣本為256， 327，251，221，224 將數字分成每三位為一組，數字超過400 的，則忽略百位數，由十位數重新讀出 三位數，若十位數亦大於4，則由個位數重新讀出三位數，又若個位數亦大於4， 則重新讀出下一個三位數，因此得五個樣本為087，256，327，093，251 將數字分成每三位為一組，數字超過400 的，則除以400 取其餘數，餘數為0 者 對應400。因此得五個樣本為208，347，256，327，070 將數字分成每二位為一組，數字前面加小數點符號，得出小數二位的亂數，再乘以 N=400 ，因此得五個樣本為.60*400=240 ，.87*400=348 ，.47*400=188 ， .25*400=100，.63*400=252 若N=400 恰為某校的學生總數，該校有9 班，每班人數40 至50 不等。今由 1 至9 隨機抽出5 班，再由抽中的每一班，用亂數表隨機抽出一個學生為樣本。 如，但由抽中的每一班抽出一個學生時，用亂數表由 1 至50 抽取一個隨機數， 該數若超過班上人數時，則重抽一個隨機數為樣本。 四、林務局量測某林場100 棵樹，發現其平均直徑為48 公分，今欲估計平均樹齡，乃簡 單隨機抽取五棵樹，計數其年輪及直徑，而得以下資料。 編號 1 2 3 4 5 直徑 x 54 41 45 38 52 樹齡 y 28 21 22 20 24 用樣本均值估計母體的平均樹齡，並計算樣本均值的變異數估計值。（5 分） 用比率估計法估計母體的平均樹齡，並計算此估計式的變異數估計值。（10 分） 比較，兩種估計法，您認為哪一種較優？為什麼？（5 分） 五、某企業有8 個分公司，員工人數依序分別為1200，500，1600，950，2000，1500， 800，1450 人。人事經理想估計每週員工請假平均時數，由於請假人數與員工人數 高度相關，因此，人事經理採用抽取機率正比於員工數（probabilities proportional to size of employees）的抽樣法，抽查三個分公司，他由亂數表取得1647，2217， 7922 三個隨機數。 問被抽中的三家分公司，其員工人數各為若干？（8 分） 設調查被抽中的三家分公司的員工某週請假總時數分別依序為289，496，384 小 時，則該企業每週每一員工請假平均時數的估計值及其變異數的估計值為何？ （12 分）

9 10 11 12 13 總計 yi xi 681 381 540 315 205 205 329 239 486 296 199 136 134 118 105 100 300 199 290 189 140 130 243 163 123 119 3775 2590 三、請說明分層隨機抽樣法的優點並比較分層隨機抽樣法的四種配置問題（均等配置、 比例配置、Neyman 配置和最適配置等四種）（20 分） 均等配置（equal allocation） 比例配置（proportional allocation） Neyman 配置（Neyman allocation） 最適配置（optimum allocation） 四、公路總局想要了解高鐵完成通車後對公路乘客搭乘及載客量的影響，故擬訂一個抽 樣調查設計之研究，來分析及估計未來高鐵通車後對公路乘客搭乘及載客量的影 響；請擬定一個抽樣程序及相關方法作為資料收集前之重要前置工作。（30 分）

9 10 合 計 實際重量 xi 61 42 50 58 67 45 39 57 71 53 543 目測重量 yi 59 47 52 60 67 48 44 58 76 58 569 茲取 )) ( ( ˆ y x Y N X − + = 為實際總重量的估計值，試計算這一估計值，並估計其標準 誤差。（10 分） 設取 )) ( b ( ˆ y Y x N X − + = 為實際總重量的估計值，及改用樣本最小平方法的迴歸 係數b，是否能提高估計的準確度（提示：於中，b=1）？（15 分） （請接背面） 94 年公務人員高等考試三級考試第二試試題 科 別： 統計 全一張 （背面） 三、某調查員擬調查某農場改良種甘蔗的含糖量，但不知甘蔗的總株數N，致不宜採用 簡單隨機抽樣，故決定改用”7 取1”的系統抽樣。表列資料是所抽甘蔗樣本的含糖百 分比（%），列表於下： 甘蔗樣本 1 2 3 … 210 211 212 總和 含糖量 (%) ix 82 76 83 … 84 80 79 ∑ = = 212 1 066 , 17 i ix 2 ix 6724 5776 6889 … 7056 6400 6241 ∑ = = 212 1 800 , 486 ,1 2 i ix 試估計該農場改良種甘蔗的平均含糖量X 的值及其估計誤差界限。（15 分） 試估計平均含糖量95%之信賴區間，並說明其含意。（10 分） 四、某社會學家想瞭解高雄市居民成年男子租屋居住的比例。從該市M=415 個行政區 域集落（clusters）中隨機抽取出m=25 個集落為樣本而進行研究，其資料如下表所 示： 集落(m) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 成年男子 數( ) i N 8 12 4 5 6 6 7 5 8 3 2 6 5 10 9 3 6 5 5 4 6 6 7 3 8 租屋居住 人數( ) ia 4 7 1 3 3 4 4 2 3 2 1 3 2 5 4 1 4 2 3 1 3 3 4 0 3 估計群體租屋居住比例及其變異數。（15 分） 估計其標準誤差，並算出其95%信賴區間。（10 分）